方程 $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{4}{3}$ 有______组整数解．
满足 $x^4-x^3-2 \sqrt{5} x^2-7 x^2+\sqrt{5} x+3 x+7 \sqrt{5}+17=0$ 的所有正实数 $x$ 的整数部分之和是_______．
$\triangle A B C$ 中，$\angle A$ 是钝角，$\angle B=20^{\circ}$，作 $A D \perp A B$ 交 $B C$ 于 $D$．已知 $A B=1$，$C D=4$，则 $\triangle A B C$ 的面积 $S=$ _______．
已知 $x, y, z$ 是 $3 $ 个大于等于 $ 1 $ 的实数，那么 \[ \left(\frac{\sqrt{x^2(y-1)^2+y^2}}{x y}+\frac{\sqrt{y^2(z-1)^2+z^2}}{y z}+\frac{\sqrt{z^2(x-1)^2+x^2}}{x z}\right)^2 \] 的最小值写是____．
已知函数 $f: \mathbb R \to \mathbb R$，使得任取实数 $x, y, z$ 都有\[f(x y)+f(x z)-2 f(x) f(y z) \geqslant \dfrac{1}{2},\]则 $[1 \cdot f(1)]+[2 \cdot f(2)]+\cdots+[2022 \cdot f(2022)]=$ _______．（其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数）．
设 $\triangle A B C$ 的三个内角分别为 $A, B, C$，则\[m=\sin A \cos B+\sin B \cos C+\sin C \cos A\]的最大值为_______．
若方程 $\log _2\left(k\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\right)=2 \log _2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ 仅有一个实数解，则满足条件的 $k$ 的最大值等于_______．
已知点 $A(2,1)$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上，且该椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．直线 $l$ 交椭圆于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为零．
1、求椭圆的标准方程．
2、若 $\cos \angle P A Q=\dfrac{1}{3}$，求 $\triangle P A Q$ 的面积．
如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，$O_{1}, O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心，$O$ 为球心，$CD,EF$ 分别为底面圆 $O_{1},O_2$ 的一条直径，若球的半径 $r=2$，则（ ）
A．球与圆柱的体积之比为 $2: 3$
B．四面体 $C D E F$ 的体积的取值范围为 $(0,32]$
C．平面 $D E F$ 截得球的截面面积最小值为 $\dfrac{4 \pi}{5}$
D．若 $P$ 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $|PE|+|PF|$ 的取值范围为 $ \left[2+2 \sqrt{5},4 \sqrt{3}\right]$
