$n$ 个学生参加一次数学考试，试卷由 $m$ 道题组成，考虑如下的统计结果：设 $\alpha$（$0<\alpha<1$）是一个实数，至少有 $\alpha m$ 道题为难题（一道题是难题是指至少有 $\alpha n$ 个学生未解出此题），且至少有 $\alpha n$ 个学生及格（一个学生及格是指他至少解决了 $\alpha m$ 道题）．试就 $\alpha=\dfrac{2}{3}, \dfrac{7}{10}$ 确定上述情形是否可能？
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a x \sin x-b x+c$ 的图象与 $x$ 轴相切于原点．
1、求 $b, c$ 的值．
2、若 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上有唯一零点，求实数 $a$ 的取值范围．
设 $F$ 是双曲线 $\Gamma: x^2-y^2=1$ 的左焦点，经过 $F$ 的直线与 $\Gamma$ 相 交于 $M,N$ 两点．
1、若 $M,N$ 都在双曲线的左支上，求 $\triangle O M N$ 面积的最小值．
2、$x$ 轴上是否存在一点 $P$，使得 $\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P N}$ 为定值？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．
已知 $a_1=1$，$a_{n+1}=\lambda a_n^2+2$（$n \in \mathbb{N}^{+}$），若数列 $\left\{a_n\right\}$ 有上界，即存在常数 $M>0$，使得 $a_n \leqslant M$ 对 $n \in \mathbb{N}^{+}$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的最大值为_______．
若存在实数 $a$ 及正整数 $n$ 便得 $f(x)=\cos 2 x-a \sin x$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有 $ 2022 $ 个零点，则满足条件的正整数 $n$ 的值有_______个．
在半径为 $ 1$ 的实心球中挖掉一个体积最大的圆锥，再将该圆锥重新融成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为______．
将一枚骰子连续投掷五次，则事件“五次出现的点数既不全相同，也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数”的概率为_______．
已知 $x,y,z$ 均为正实数，且满足 $x^{\lg x} y^{\lg y} z^{\lg z}=5$，$x^{\lg (y x)} y^{\lg (z x)} z^{\lg (x y)}=2$，则 $x y z=$ _______．
已知复数 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 满足 $\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2=\left|z_3\right|^2+\left|z_4\right|^2=4$，且 $z_1 \overline{z_3}+z_2 \overline{z_4}=0$，则 $\left|z_1 z_4-z_2 z_3\right|=$ _______．
设递推数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足：$x_{n+1}=x_n^2-4 x_n, ~n=1,2, \cdots$，如果对任意的首项 $x_1 \in \mathbb R$ 且 $x_1 \neq 0$，数列中一定存在某项 $x_k \geqslant m$，则 $m$ 的最大值为 _______．
