已知函数 $f:\{1,2, \cdots, 10\} \to\{1,2,3,4,5\}$，且对一切 $k=1,2, \cdots,9$，有 $|f(k+1)-f(k)| \geqslant 3$，则符合条件的函数 $f$ 的个数为_______．
已知实数 $x,y$ 满足 $x|x|+\dfrac{y|y|}{3}=1$，则 $|\sqrt{3} x+y-4|$ 的取值范围是_______．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_{2 k+1}=\dfrac{a_{2 k}^2}{a_{2 k-1}}$，且 $a_{2 k+2}=2 a_{2 k+1}-a_{2 k}$（$k \in \mathbb{N}^{+}$），则 $a_{2022}$ 的末两位数字是_______．
已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递淢，对任意 $x \in(0,+\infty)$，均有\[f(x) \cdot f\left(f(x)+\dfrac{2}{x}\right)=\dfrac{1}{3},\]记 $g(x)=f(x)+4 x^2$，则函数 $g(x)$ 的最小值是_______．
设 $x,y,z$ 为正实数，满足 $x y z=1$，证明：$\sqrt{1+8 x}+\sqrt{1+8 y}+\sqrt{1+8 z} \geqslant 9$．
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_0=0$，$a_n=\dfrac{1}{2}\left(3 a_{n-1}+\sqrt{5 a_{n-1}^2+4}\right)$（$n \geqslant 1$）．证明：该数列的各项皆为自然数，且对于数列中的任意连续的三项 $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$，其两两的乘积加 $1$ 的值皆是正整数的平方．
$P$ 是单位正方体内部或表面上的点，满足条件：
① 正方体有一条棱的两个端点到 $P$ 的距离分别是 $\dfrac{8}{15}$ 与 $\dfrac{17}{15}$；
② 正方体中至少有两个顶点到 $P$ 的距离相等．
试求同时满足上述条件的点 $P$ 的个数．
对于正整数 $n$，将其各位数字之和记为 $s(n)$，各位数字之积记为 $p(n)$，若成立 $s(n)+p(n)=n$，就称 $n$ 为巧合数，则所有巧合数的和为_______．
