Math173

已知抛物线 $y=\dfrac{x^2}4$，经过焦点 $F$ 斜率为 $k$（$k\neq 0$）的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于点 $C$，则 $\dfrac{|AB|}{|CF|}$ 的值为_______．

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双曲线 $C:\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}4=1$ 的右焦点为 $F$，双曲线 $C$ 上有两点 $A,B$ 关于直线 $l: 3 x+y-8=0$ 对称，则 $\left|\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{FB}\right|=$（       ）

A．$2\sqrt 2$

B．$4\sqrt 2$

C．$2\sqrt 3$

D．$4\sqrt 3$

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"不以规矩，不能成方圆"出自《孟子・离娄章句上》．"规" 指圆规，"矩" 指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量，画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以"矩" 量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 $\alpha$ 满足 $\cos\alpha=\dfrac 1 3$，则这块四边形木板周长的最大值为（        ）

A．$\dfrac{10(\sqrt{30}+\sqrt{15})}3 ~{\rm cm}$

B．$\dfrac{10(\sqrt{30}-\sqrt{15})}3 ~{\rm cm}$

C．$\dfrac{10(\sqrt{10}+\sqrt 5)}3 ~{\rm cm}$

D．$\dfrac{10(\sqrt{10}-\sqrt 5)}3 ~{\rm cm}$

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已知 $x \in\mathbb R$，$f(x)=\lfloor 2 x\rfloor+\lfloor 4 x\rfloor+\lfloor 6 x\rfloor+\lfloor 8 x\rfloor$，则不超过 $ 2024 $ 的正整数中可以作为 $f(x)$ 函数值的个数为（       ）

A．$1012$

B．$1215$

C．$1624$

D．$2024$

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用 $6$ 种不同颜色染正方体的 $ 6$ 个面，不同面颜色不同，正方体旋转后颜色相同认为是同种染色，则不同的染色的种数为（       ）

A．$15$

B．$30$

C．$45$

D．$60$

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设 $\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)^n=a_n+b_n \sqrt{2}+c_n \sqrt{7}+d_n \sqrt{14}$，其中 $a_n, b_n, c_n, d_n \in\mathbb Z^{+}$，则 $\lim \limits_{n \to\infty} \dfrac{a_n^3}{b_n c_n d_n}=$ （       ）

A．$1$

B．$2$

C．$7$

D．$14$

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使关于 $x$ 的方程 $\left\lfloor\dfrac{10^{n}}{x}\right\rfloor=2024$ 恰有 $2$ 个整数解的正整数 $n$ 值为（       ）

A．$5$

B．$6$

C．$7$

D．$8$

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复平面上曲线 $z^{4}+z=1$ 与 曲线 $|z|=1$ 交点个数为（       ）

A．$0$

B．$1$

C．$2$

D．$3$

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已知 $a, b, c$ 为正实数，满足 $a+b+c=1$，则 $a+\sqrt{b}+\sqrt[4]{c}$ 的最大值 $m$ 最接近（       ）

A．$1$

B．$\dfrac 54$

C．$\dfrac 32$

D．$\dfrac 74$

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在平面直角坐标系中，若方程 $m(x^2+y^2+2y+1)=(x-2y+3)^2$ 表示的曲线为椭圆，则 $m$ 的取值范围为（       ）

A．$(0,1)$

B．$(1,+\infty)$

C．$(0,5)$

D．$(5,+\infty)$

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