如图，三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，侧面 $ABB_1 A_1\perp~\text{底面}~ ABC$，$AB=BB_1=2$，$AC=2\sqrt 3$，$\angle B_1 BA=60^{\circ}$，点 $D$ 是棱 $A_1 B_1$ 的中点，$\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BE}$，$DE\perp BC$．
1、证明：$AC\perp BB_1$．
2、求直线 $BB_1$ 与平面 $DEA_1$ 所成角的正弦值．
每日一题[3421]累次求最值
设 $A,B,C$ 是一个三角形的三个内角，则 $\cos A(3\sin B+4\sin C)$ 的最小值为_______．
每日一题[3420]纠缠函数
定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导函数分别为 $f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$，若 $g(x)-f(3-x)=2$，$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x-1)$，且 $g(-x+2)=-g(x+2)$，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．$g(x+2)$ 为偶函数
B．$f^{\prime}(x+2)$ 为奇函数
C．函数 $f(x)$ 是周期函数
D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2024}g(k)=0$
每日一题[3419]截距坐标公式
已知双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右焦点为 $F$，其左右顶点分别为 $A,B$，过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交双曲线 $E$ 于 $M,N$ 两点，设线段 $MF$ 的中点为 $P$，若直线 $BP$ 与直线 $AN$ 的交点在 $y$ 轴上，则双曲线 $E$ 的离心率为（ ）
A．$2$
B．$3$
C．$\sqrt 2$
D．$\sqrt 3$
每日一题[3418]最大似然
在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球 $n$ 次，红球出现 $m$ 次．假设每次摸出红球的概率为 $p$，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率 $p$ 的估计值为 $\hat p=\dfrac m n$．
1、若袋中这两种颜色球的个数之比为 $1: 3$，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取 $3$ 个球，设摸出的球为红球的次数为 $Y$，则 $Y\sim B(3,p)$． 注：$P_p(Y=k)$ 表示当每次摸出红球的概率为 $p$ 时，摸出红球次数为 $k$ 的概率） ① 完成下表；\[\begin{array}{l|l|l|l|l}\hline k & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline P_{\frac 1 4}(Y=k) & \dfrac{27}{64} & & & \dfrac 1{64}\\\hline P_{\frac 3 4}(Y=k) & & \dfrac 9{64} & & \dfrac{27}{64}\\\hline \end{array}\] ② 在统计理论中，把使得 $P_p(Y=k)$ 的取值达到最大时的 $p$，作为 $p$ 的估计值，记为 $\hat p$，请写出 $\hat p$ 的值．
2、把 $(1)$ 中 "使得 $P_p(Y=k)$ 的取值达到最大时的 $p$ 作为 $p$ 的估计值 $\hat p$ " 的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数 $\theta$ 构建对数似然函数 $l(\theta)$，再对其关于参数 $\theta$ 求导，得到似然方程 $l^{\prime}(\theta)=0$，最后求解参数 $\theta$ 的估计值．已知 $Y\sim B(n,p)$ 的参数 $p$ 的对数似然函数为\[l(p)=\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i\ln p+\sum_{i=1}^n\left(1-X_i\right)\ln (1-p),\]其中 $X_i=\begin{cases}0,&\text{第}~i~\text{次摸出白球}\\1,&\text{第}~i~\text{次摸出红球}\end{cases}$．求参数 $p$ 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
每日一题[3417]极点极线
已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左、右顶点，点 $M(m,0)$（$m>0$）与椭圆上的点的距离的最小值为 $1$．
1、求点 $M$ 的坐标．
2、过点 $M$ 作直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $C,D$ 两点（与 $A,B$ 不重合），连接 $AC,BD$ 交于点 $G$．
① 证明：点 $G$ 在定直线上；
② 是否存在点 $G$ 使得 $CG\perp DG$，若存在，求出直线 $l$ 的斜率；若不存在，请说明理由．
每日一题[3416]三射线定理
如图，在多面体 $ABCDPQ$ 中，底面 $ABCD$ 是平行四边形，$\angle DAB=60^{\circ}$，$BC=2 PQ=4 AB=4$，$M$ 为 $BC$ 的中点，$PQ\parallel BC$，$PD\perp DC$，$QB\perp MD$．
1、证明：$\angle ABQ=90^{\circ}$．
2、若多面体 $ABCDPQ$ 的体积为 $\dfrac{15}2$，求平面 $PCD$ 与平面 $QAB$ 夹角的余弦值．
每日一题[3415]截面椭圆
机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为 $12 ~{\rm cm}$，开口直径为 $8 ~{\rm cm}$．旅客使用纸杯暍水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于_______．
答案 $\dfrac{3\sqrt{17}}{17}$．
解析 如图，母线 $DA=DC=12$，开口直径 $AC=8$，于是\[DM=\sqrt{DA^2-AM^2}=\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt 2,\]于是\[\tan\angle BAC=\dfrac{\dfrac 12DM}{\dfrac 34AC}=\dfrac{2\sqrt 2}{3},\]
设母线 $DA$ 截线 $AB$ 与轴 $DM$ 的夹角分别为 $\theta,\varphi$，则 $\sin\alpha=\dfrac 13$，进而 $\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt 2}3$，$\tan\varphi=\dfrac{3}{2\sqrt 2}$，进而 $\cos\varphi=\dfrac{2\sqrt 2}{\sqrt {17}}$，因此所求椭圆的离心率\[e=\dfrac{\cos\varphi}{\cos\theta}=\dfrac{3\sqrt{17}}{17}.\]
每日一题[3414]平均性质与参数方程
过点 $P(2,0)$ 的直线与抛物线 $C: y^2=4 x$ 交于 $A,B$ 两点．抛物线 $C$ 在点 $A$ 处的切线与直线 $x=-2$ 交于点 $N$，作 $NM\perp AP$ 交 $AB$ 于点 $M$，则（ ）
A．直线 $NB$ 与抛物线 $C$ 有 $2$ 个公共点
B．直线 $MN$ 恒过定点
C．点 $M$ 的轨迹方程是 $(x-1)^2+y^2=1$（$x\neq 0$）
D．$\dfrac{|MN|^3}{|AB|}$ 的最小值为 $8\sqrt 2$
每日一题[3413]扩散攻击
已知函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 均满足 $2 f(x)+f\left(x^2-1\right)=1$，则（ ）
A．$f(-x)=f(x)$
B．$f(\sqrt 2)=1$
C．$f(-1)=\dfrac 1 3$
D．函数 $f(x)$ 在区间 $(\sqrt 2,\sqrt 3)$ 上不单调