已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac mx-3$ 有两个零点．
1、求 $m$ 的取值范围．
2、设 $a,b$ 为 $f(x)$ 的两个零点，证明：$ab<m{\rm e}^2$．
已知\[(n+1)^{\alpha+1}-n^{\alpha+1}<n^\alpha(\alpha+1)<n^{\alpha+1}-(n-1)^{\alpha+1},\quad -1<\alpha<0,\]设 $x=\displaystyle\sum_{k=4}^{10^6} \frac{1}{\sqrt[3]{k}}$，则 $x$ 的整数部分为_______．
设 $n$ 为正整数，若 $n^m \geqslant m^n$ 对所有正整数 $m$ 都成立，则 $n=$ _______．
若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”．“完美长方体”的体积的最大值为_______．
设 $x_0>0$，$x_0 \neq \sqrt{3}$，$ Q\left(x_0, 0\right)$，$P(0,4)$，直线 $P Q$ 与双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 相交于 $A,B$ 两点．若 $\overrightarrow{P Q}=t \overrightarrow{Q A}=(2-t) \overrightarrow{Q B}$，则 $x_0=$______．
已知 $x,y,z$ 都是正数，且 $$ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0, $$ 求证：\[x(y+z)^2+y(z+x)^2+z(x+y)^2-\left(x^3+y^3+z^3\right) \leqslant 9 x y z.\]
设 $a$ 为正整数，$3 \mid a$，$f(1)=a$．令\[f(n+1)=\begin{cases} \sqrt{f(n)}, & \sqrt{f(n)} \in \mathbb{Z}, \\ f(n)+3, & \sqrt{f(n)} \notin \mathbb{Z},\end{cases}\]其中 $ n \geqslant 1$．求证：存在 $M$ 使得 $f(n) \leqslant M$（$n \geqslant 1$）．
工兵用信号探测器，探测边长为 $2$ 千米的等边三角形区域内的地雷，已知探测器的有效作业距离为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 千米．从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？（要求说明理由）
已知函数 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数，$f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，若 $x^2 f^{\prime}(x)+x f(x)={\rm e}^{\frac{1}{2} x}$，且 $f(2)=\dfrac{\rm e}{2}$，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 $f(x)$ 在定义域上有极小值
B．函数 $f(x)$ 在定义域上单调递增
C．函数 $H(x)=xf(x)-{\rm e}\ln x$ 在 $(0,2)$ 上单调递减
D．不等式 $f(x)>\dfrac{{\rm e}^{\frac{1}{2} x}+{\rm e}}{4}$ 的解集为 $(2,+\infty)$
平面 $\alpha$ 与长方体的六个面所成的角分别为 $\theta_i$（$i=1,2,3, \cdots, 6$），则 $\displaystyle\sum_{i=1}^6 \sin ^2 \theta_i$ 的值为（ ）
A．$2$
B．$3$
C．$4$
D．$6$
