已知 $\tan\alpha\cdot\tan (\alpha+\beta)=1$，$\tan (3\alpha+2\beta)=m$，则 $\tan (\alpha+\beta)=$ （ ）
A．$-\dfrac 1 m$
B．$-m$
C．$m$
D．$3\sqrt 3 m^2$
已知拋物线 $C: y^2=2 p x$（$p>0$），过点 $P(2,1)$ 作斜率为 $k_1, k_2$ 的直线 $l_1, l_2$，分别交抛物线于 $A, B$ 与 $M, N$，当 $k_1=2$ 时，$P$ 为 $A B$ 的中点．
1、求抛物线 $C$ 的方程；
2、若 $|P M| \cdot|P N|=|P A| \cdot|P B|$，证明：$k_1+k_2=0$；
3、若直线 $A M$ 过点 $Q(-2,0)$，证明：直线 $B M$ 过定点，并求出该定点坐标．
对于非负整数非空集合 $S$，若对任意 $x, y \in S$，或者 $x+y \in S$，或者 $|x-y| \in S$，则称 $S$ 为一个好集合，记 $|S|$ 为集合 $S$ 的元素个数．
1、求所有的元素均小于 $ 3$ 的好集合；
2、求所有满足 $|S|=4$ 的好集合；
3、若好集合 $S$ 满足 $|S|$ 为奇数，求证：$S$ 中存在元素 $m$，使得 $S$ 中所有元素均为 $m$ 的整数倍．
已知有穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=n$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），将数列 $\left\{a_n\right\}$ 中各项重新排列构成新数列 $\left\{b_n\right\}$，则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的重排数列，若数列 $\left\{b_n\right\}$ 各项均满足 $b_n \neq a_n$，则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的完全重排数列，记项数为 $n$ 的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的完全重排数列的个数为 $D_n$．
1、计算 $D_2, D_3, D_4$；
2、写出 $D_{n+1}$ 和 $D_n, D_{n-1}$（$n \geqslant 2$）之间的递推关系，并证明：数列 $\left\{D_n-n D_{n-1}\right\}$（$n \geqslant 2$）是等比数列；
3、若从数列 $\left\{a_n\right\}$ 及其所有重排数列中随机选取一个数列 $\left\{c_n\right\}$，记数列 $\left\{c_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的 完全重排数列的概率为 $P_n$，证明：当 $n$ 无穷大时，$P_n$ 趋近于 $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$． 参考公式：\[ \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots.\]
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 一共有 $m^2$（$m>2$）项，$a_1, a_2, \cdots, a_m$ 成公差不为 $ 0 $ 的等差数列，对任意的 $i \in\{1,2, \cdots, m\}$，$a_i, a_{i+m}, \cdots, a_{i+(m-1) m}$ 成等差数列，且对于不同的 $i$，其公差为同一个非零常数．
1、若 $m=3$，$ a_1=1$，$a_4=3$，$a_9=9$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项之和；
2、证明：$a_1, a_{(m+1)+1}, a_{2(m+1)+1}, \cdots, a_{(m-1)(m+1)+1}$ 成等差数列；
3、从 $1,2, \cdots, m^2$ 中任取三个数 $p, q, r$（$p<q<r$），记 $p, q, r$ 成等差数列且 $a_p, a_q, a_r$ 也成等差数列的概率为 $P_m$，证明：$P_m>\dfrac{3 m-6}{4 m^3-8 m}$．
已知函数 $f(x)=(x-a)|x-b|+c$，$ x \in\mathbb R$．
1、当 $a=1$，$b=0$ 时，方程 $f(x)=0$ 有两个实数解，求 $c$ 的取值范围；
2、若 $a=0$ 且对任意 $x \in[0,1]$，不等式 $f(x) \leqslant 0$ 恒成立，求 $b+2 c$ 的最大值．
已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 对于 $m \in\mathbb N^{\ast}$，若 $\left\{a_n\right\}$ 同时满足以下三个条件，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$．
条件 ①：$a_n>0$（$n=1,2, \cdots$）；
条件 ②：存在常数 $T>0$，使得 $a_n \leqslant T$（$n=1,2, \cdots$）；
条件 ③：$a_n+a_{n+1}=m a_{n+2}$（$n=1,2, \cdots$）．
1、若 $a_n=5+4 \cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$（$n=1,2, \cdots$），且数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$，直接写出 $m$ 的值和一个 $T$ 的值；
2、是否存在具有性质 $P(1)$ 的数列 $\left\{a_n\right\}$？若存在，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式：若不存在，说明理由；
3、设数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有性质 $P(m)$，且各项均为正整数，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．
已知集合 $M=\left\{\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_n\right\}$，$n \in \mathbb N^{\ast}$，设函数\[ f_n(x)=\sin ^2\left(x-\theta_1\right)+\sin ^2\left(x-\theta_2\right)+\cdots+\sin ^2\left(x-\theta_n\right).\]
1、当 $M=\left\{0, \dfrac{\pi}{2}\right\}$ 和 $\left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right\}$ 时，分别判断函数 $f_2(x)$ 是否是常数函数？说明理由；
2、已知 $M \subseteq\left\{\theta \mid \theta=\dfrac{k \pi}{12}, k \in \mathbb N, k \leqslant 12\right\}$，求函数 $f_3(x)$ 是常函数的概率；
3、写出函数 $f_n(x)$（$n \geqslant 2$）是常函数的一个充分条件，并说明理由．
已知椭圆 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $P(0, \sqrt{3})$，$A_1, A_2$ 为 $\Gamma$ 的左、右顶点，且直线 $P A_1, P A_2$ 的斜率之积为 $-\dfrac{3}{4}$，动点 $Q(m, n)$ 在 $\Gamma$ 上，其中 $m<0$，$n>0$，直线 $l: 3 m x+4 n y=0$ 与 $\Gamma$ 在第一象限的交点为 $R$，点 $T$ 在线段 $O R$ 上（$O$ 为坐标原点），且 $|Q T|=2$．
1、求椭圆 $\Gamma$ 的方程；
2、直线 $Q T$ 过定点 $S$，并求出定点 $S$ 的坐标．
已知曲线 $\Gamma$ 上的点到定点 $F_2(\sqrt{3}, 0)$ 的距离与其到直线 $x=2 \sqrt{3}$ 的距离之比为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$F_1(-\sqrt{3}, 0)$，动点 $P$ 满足 $\angle F_1 P F_2=\dfrac{\pi}{3}$，过 $P$ 作曲线 $\Gamma$ 的两条切线，切点分别为 $M, N$，记 $\triangle P M N, \triangle P F_1 F_2$ 的面积分别为 $S_1, S_2$．
1、求曲线 $\Gamma$ 的方程；
2、求 $P$ 的横坐标取值范围；
3、求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的取值范围．
