求所有的正整数数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：对任意的 $n \geqslant 3$，都有\[ \frac{1}{a_1 a_3}+\frac{1}{a_2 a_4}+\cdots+\frac{1}{a_{n-2} a_n}+\frac{1}{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2}=1.\]
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是斐波那契数列 $\{1,1,2,3,5,8,13,21,34, \cdots\}$，这一数列以如下递推的方法定义：$a_1=1$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），数列 $\left\{b_n\right\}$ 对于确定的正整数 $k$，若存在正整数 $n$，使得 $b_{k+n}=b_k+b_n$ 成立，则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 为 $k$ 阶可拆分数列．
1、已知数列 $\left\{c_n\right\}$ 满足 $c_n=m a_n$（$n \in\mathbb N^{\ast}$，$m \in\mathbb R$），判断是否对任意 $m\in\mathbb R$，总存在确定的正整数 $k$，使得数列 $\left\{c_n\right\}$ 为 $k$ 阶可分拆数列，并说明理由；
2、设数列 $\left\{d_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=3^n-a$（$a \geqslant 0$）．
① 若数列 $\left\{d_n\right\}$ 为 $1$ 阶可分拆数列，求出符合条件的实数 $a$ 的值；
② 在 ① 的前提下，若数列 $\left\{f_n\right\}$ 满足 $f_n=\dfrac{a_n}{S_n}$，其前 $n$ 项和为 $T_n$，求证：当 $n \in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n \geqslant 3$ 时，有\[ T_n<a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2-a_n a_{n+1}+1.\]
已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右顶点 $A(1,0)$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$．
1、求双曲线 $C$ 的方程；
2、设过点 $B(1,1)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $A Q$ 交于点 $R$，证明：以线段 $P R$ 的中点 $M$ 为圆心且过坐标原点的圆还过其它定点 $T$．
已知椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$A$ 为 $E$ 的左顶点，$B$ 为 $E$ 的上顶点，$E$ 的离心率为 $\dfrac 1 2$，$\triangle ABO$ 的面积为 $\sqrt 3$．
1、求椭圆 $E$ 的方程；
2、过点 $P(-2,1)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，点 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交直线 $AN$ 于点 $H$，证明：线段 $MN$ 的中点 $T$ 在定直线上．
若存在实数 $k$ 和周期函数 $h(x)$，使得 $f(x)=k x+h(x)$，则称 $f(x)$ 是好函数．
1、判断 $u(x)=\sin x$，$v(x)=x+x^2$ 是否是好函数，证明你的结论；
2、对任意实数 $x$，函数 $f(x), g(x)$ 满足 $g(f(x))=x$，$f(g(x))=x$，若 $f(x)$ 是好函数， ① 当 $f(x)=2 x$ 时，求 $g(x)$； ② 求证：$f(x)$ 不是周期函数； ③ 求证：$g(x)$ 是好函数．
已知当 $x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$x-\dfrac{x^3}{6}<\sin x<x$．
1、证明：当 $x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$\dfrac{\sin x}{x}>\dfrac{1}{2}$； 设 $f(x)=m \sin x$，
2、若区间 $[a, b]$ 满足当 $f(x)$ 定义域为 $[a, b]$ 时，值域也为 $[a, b]$，则称为 $f(x)$ 的和谐区间．
① 当 $m=1$ 时，$f(x)$ 是否存在和谐区间？若存在，求出所有和谐区间，若不存在，请说明理由；
② 当 $m=-2$ 时，$f(x)$ 是否存在和谐区间？若存在，求出所有和谐区间，若不存在，请说明理由．
如图：一张 $3 \times 3$ 的棋盘，横行编号 $1,2,3$；竖排编号 $a, b, c$，一颗棋子目前位于棋盘的 $c1$ 处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中，例如该棋子第一次移动可以从 $(c, 1)$ 移动到 $(a, 2)$ 或 $(b, 3)$，棋子每次移动到不同目的地间的概率均为 $\dfrac{1}{2}$．
1、① 列举两次移动后，该棋子所有可能的位置；
② 假设棋子两次移动后，最终停留到第 $1,2,3$ 行时，分别能获得 $1,2,3$ 分，设得分为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望；
2、现在于棋盘 $a3$ 处加入一颗棋子，它们运动规则相同，并且每次移动同时行动，求移动 $n$ 次后，两棋子位于同一格的概率．
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，且经过点 $M(-2,0)$，$F_1, F_2$ 为椭圆 $C$ 的左、右焦点．$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是椭圆上两点，直线 $AF_1,BF_2$ 相交于点 $Q(x_0,y_0)$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程；
2、① 若 $A F_2\parallel B F_1$，证明：$\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}=\dfrac{1}{y_0}$；
② 若 $\left|Q F_1\right|+\left|Q F_2\right|=3$，探究 $y_0, y_1, y_2$ 之间的关系．
在 $\triangle A B E$ 中，$B E=3$，$ \angle B A C=\angle E A D$，$\dfrac{B C \cdot B D}{D E \cdot E C}=\dfrac{1}{4}$，当 $\angle A E B$ 取最大值时，$\triangle A B E$ 的面积为_____．
已知平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 对任意实数 $x, y$ 都有 $|\boldsymbol{a}-x \boldsymbol{b}| \geqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol b|$，$|\boldsymbol{a}-y \boldsymbol{c}| \geqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|$ 成立，若 $|\boldsymbol{a}|=2$，则 $\boldsymbol{b} \cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})$ 的取值范围是_____．
