记 $m(x)$ 表示正整数 $x$ 的个位数字，如 $m(2025)=5$，若各项都为正整数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $a_{n+1}=a_n\cdot m(a_n)$，则下列说法正确的是（ ）
A．若 $a_1=3$，则 $a_{2025}=81$
B．若存在 $a_1,k\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $a_k=2025$，则 $k$ 的所有可能取值为 $\{1,2,3\}$
C．若存在实数 $a,b$ 满足：对于任意的 $a_1\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $\displaystyle\sum_{i=1}^n m(a_i)\leqslant a n+b$，则当 $a$ 最小值时 $b\geqslant 4$
D．若存在 $a_1,k\in\mathbb N^{\ast}$，使得有且只有一个 $n$ 满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^n m(a_i)\geqslant n k$，则 $k$ 的取值只有 $5$ 种
使边缘为抛物线 $x^2=2 p y$（$p>0$）图象的框架的对称轴竖直，从抛物线顶点正上方放入一个半径为 $1$ 的圆形纸板，使其只竖直下落至稳定状态，则下列说法正确的是[[nn]]
A．若圆形纸板与框架只有一个接触点，则 $p$ 的取值范围为 $\left[\dfrac 1 2,+\infty\right)$
B．若圆形纸板与框架只有一个接触点，则 $p$ 的取值范围为 $[1,+\infty)$
C．存在 $p\in\left(0,\dfrac 1 2\right]$，使得圆形纸板边缘过抛物线的焦点
D．存在 $p\in\left(\dfrac 1 2,1\right]$，使得圆形纸板边缘过抛物线的焦点
设正整数 $n\geqslant 3$，集合 $\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}=\{1,2,\cdots,n\}$，已知有穷数列 $A_0: ~a_1,a_2,\cdots,a_n$ 经过 一次 $M$ 变换后得到数列\[A_1:~\displaystyle\max\left\{a_1,a_2\right\},\max\left\{a_2,a_3\right\},\cdots,\max\left\{a_{n-1},a_n\right\},\max\left\{a_n,a_1\right\},\]其中 $\displaystyle\max\{a,b\}$ 表示 $a,b$ 中的最大者．记数列 $A$ 的所有项之和为 $S(A)$．
1、若 $A_0: ~1,3,2,4$，求 $S\left(A_1\right)$；
2、当 $n=5$ 时，求 $S\left(A_1\right)$ 的最大值；
3、若 $A_1$ 经过一次 $M$ 变换后得到数列 $A_2$，求 $S\left(A_2\right)$ 的最大值．
已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}3=1$ 的左顶点为 $A$，过点 $B(1,0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，记 $\triangle APQ$ 的外接圆为圆 $N$．
1、当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求圆 $N$ 的方程；
2、求圆 $N$ 面积的最大值．
已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为 $\alpha$，则当圆锥的内切球体积最大时，$\alpha=$ _____．
已知函数 $f(x)=(x-a)\left(x^2-b\right)$，其中 $a>0$，且当 $x>0$ 时，$f(x)\geqslant 0$，则（ ）
A．$b=a^2$
B．$x=a$ 为 $f(x)$ 的极大值点
C．若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 有 $3$ 个不同的实数根，则 $a>\dfrac{3\sqrt 6}8$
D．若对任意 $x$ 都有 $f(x)\leqslant f(x+m)$，则 $m\geqslant\dfrac{4\sqrt 3 a}3$
记 $\left\{a_i\right\}_n=\left\{a_0,a_1,\cdots,a_i,\cdots,a_n\right\}$（$n\geqslant 1$）为各项均为整数且最后一项不为 $0$ 的 $n+1$ 项数列，其对应的多项式函数记为\[G_{\left\{a_i\right\}_n}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n.\]
定义一 若存在整数 $t$ 使得 $G_{\{b_i\}_n}(x)=G_{\{a_i\}_n}(x+t)$，则记 $\left\{b_i\right\}_n=T_t\left\{a_i\right\}_n$．
定义二 若存在 $\left\{b_i\right\}_m$ 和 $\left\{c_i\right\}_k$，使得 $G_{\{a_i\}_n}(x)=G_{\left\{b_i\right\}_m}(x) G_{\left\{c_i\right\}_k}(x)$，则称 $\left\{a_i\right\}_n$ 是可约的．
定义三 对于 $\left\{a_i\right\}_n$，若存在质数 $p$，使得 $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}$ 均是 $p$ 的倍数，$a_n$ 不是 $p$ 的倍数，$a_{n-1}$ 不是 $p^2$ 的倍数，则称 $\left\{a_i\right\}_n$ 是 $p$ 不可分的．
1、设 $\left\{a_i\right\}_3=\{2,3,0,1\}$，证明：$T_1\left\{a_i\right\}_3$ 是 $3$ 不可分的；
2、已知：若 $\left\{a_i\right\}_3=\left\{a_0,a_1,a_2,a_3\right\}$ 是 $p$ 不可分的，则 $\left\{a_i\right\}_3$ 不是可约的．证明：$\left\{a_i\right\}_3=\{2,3,0,1\}$ 不是可约的；
3、若 $\left\{a_i\right\}_n=\{121,11,0,\cdots,0,3\}$（其他末写出的各项都是 $0$）．证明：$T_t\left\{a_i\right\}_n$ 不是 $p$ 不可分的．
已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $\Gamma:~ y^2=2 p x$（$p>0$），点 $B,C$ 在 $\Gamma$ 上．当 $\triangle OBC$ 为等边三角形时，其重心为 $(4,0)$．
1、求 $\Gamma$ 的方程；
2、已知点 $P(2,2)$，直线 $PB,PC$ 是圆 $D:(x-2)^2+y^2=\dfrac 45$ 的两条切线，求 $\triangle PBC$ 的面积．
称集合 $X$ 为 $Q$ 集合，如果 $X$ 满足如下三个条件：
条件一：$X$ 中有 $20$ 个元素；
条件二：$X$ 中的每个元素都是包含于 $[0,1]$ 的闭区间；
条件三：对任意实数 $r\in[0,1]$，$X$ 中包含 $r$ 的元素个数不超过 $10$．
对于 $Q$ 集合 $A,B$，$I\in A$，$J\in B$，满足 $I\cap J\neq\varnothing$ 的区间对 $(I,J)$ 的个数的最大值为_____．
曲线 $f(x)=x^2-4$ 在点 $\left(x_n,f\left(x_n\right)\right)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $x_{n+1}$，$x_1=3$，则（ ）
A．$x_{n+1}=\dfrac{x_n}2+\dfrac 2{x_n}$
B．数列 $\left\{\ln\dfrac{x_n+2}{x_n-2}\right\}$ 为等差数列
C．$x_n=\dfrac{2\left(5^{2^{n-1}}+1\right)}{5^{2^{n-1}}-1}$
D．数列 $\left\{x_n-2\right\}$ 的前 $n$ 项和小于 $2$
