设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，$n\in\mathbb N^{\ast}$，则函数 $f(x)=[x[x]]$（$0\leqslant x\leqslant n$）的值域中的元素个数为_____；函数 $g(x)=[x[x[x]]]$（$0\leqslant x\leqslant 4$）的值域中的元素个数为_____．
设 $\left\{a_n\right\}$ 是各项均为正数的无穷数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$．
1、若 $\sqrt{a_n\cdot a_{n+2}}=a_{n+1}$ 对任意 $n\in \mathbb N^{\ast}$ 都成立，且 $2 S_{n+1}=S_n+2$．
① 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
② 已知首项为 $x_1$，公比 $q$ 满足 $|q|<1$ 的无穷等比数列 $\left\{x_n\right\}$，当 $n$ 无限增大时，其前 $n$ 项和无限趋近于常数 $\dfrac{x_1}{1-q}$，则称该常数为无穷等比数列 $\left\{x_n\right\}$ 的各项和．现从数列 $\left\{a_n\right\}$ 中抽取部分项构成无穷等比数列 $\left\{b_n\right\}$，且 $\left\{b_n\right\}$ 的各项和不大于 $\dfrac 1{15}$，求 $b_n$ 的最大值．
2、若 $\sqrt{a_n\cdot a_{n+2}}\geqslant a_{n+1}$ 对任意 $n\in \mathbb N^{\ast}$ 都成立，试证明：$\left(a_1 a_{n+2}\right)^{\frac 12}\geqslant\left(a_2 a_3\cdots a_{n+1}\right)^{\frac 1 n}$．
已知动点 $G(x,y)$ 满足关系式 $\sqrt{x^2+(y-\sqrt 2)^2}-\sqrt{x^2+(y+\sqrt 2)^2}=2$．
1、求动点 $G$ 的轨迹方程；
2、设动点 $G$ 的轨迹为曲线 $C_1$，抛物线 $C_2: x^2=4 y$ 的焦点为 $F$，过 $C_1$ 上一点 $P$ 作 $C_2$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$，弦 $AB$ 的中点为 $M$，平行于 $AB$ 的直线 $l$ 与 $C_2$ 相切于点 $Q$．
① 证明：$P,Q,M$ 三点共线；
② 当直线 $l$ 与 $C_1$ 有两个交点时，求 $|QF|$ 的取值范围．
已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=1-a\sin x-\cos 2 x$． 若 $a=2$，
1、求 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上的极大值；
2、若函数 $g(x)=f(x)-f\left(\dfrac{\pi}2+x\right)$，讨论函数 $g(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上零点的个数．
程大位（$1533-1606$）是明代珠算发明家，徽州人．他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具．算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称档．现有一种算盘（如图 $1$）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字 $5$：梁下五珠，上拨一珠记作数字 $1$．例如：图 $2$ 中算盘表示整数 $506$．如果拨动图 $ 1$ 中算盘的 $3$ 枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为_____．
已知 $ F_1,F_2 $ 分别是椭圆 $ \dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}4=1 $ 的左、右焦点，$ P,A,B $ 为椭圆上三个不同的点，直线 $ PA $ 的方程为 $ x=2 $，且 $ \angle APB $ 的平分线经过点 $ Q(1,0)$，设 $ \triangle AF_1 F_2,\triangle BF_1 F_2 $ 内切圆的半径分别为 $ r_1,r_2 $，则 $ \dfrac{r_1}{r_2}=$_____．
已知布尔数集 $A=\{0,1\}$，$p$ 为大于 $1$ 的奇数，考虑以下定义：
定义一 称由 $p^2$ 个属于集合 $A$ 的数构成的 $p$ 行 $p$ 列的数表为 $p$ 型布尔数表，记为 $\Gamma_p$，其第 $i$ 行第 $j$ 列的数被记为 $\Gamma_p(i,j)$，$(i,j)$ 被称为该数的坐标；
定义二 称满足 $\{|a-c|-1,|b-d|-1\}=A$ 的坐标 $(a,b),(c,d)$ 互为 $H$ 交换坐标；
定义三 若对于任意位于 $(x,y)$ 的 $H$ 交换坐标的数 $x_0$，都有 $x_0\cdot\Gamma_p(x,y)=0$，则称坐标 $(x,y)$ 是单次 $H$ 完备的．称所有坐标都是单次 $H$ 完备的的数表 $\Gamma_p$ 为 $H$ 数表．
1、直接写出每行每列都只有一个 $1$ 的所有 $H$ 数表 $\Gamma_3$；
2、记 $S_p$ 为 $H$ 数表 $\Gamma_p$ 中所有数的和；
① 写出 $S_3$ 和 $S_5$ 的最大值并证明；
② 试猜想 $S_p$ 的最大值与 $p$ 的关系式，并证明你的猜想．
已知平面直角坐标系点 $A(-1,0),B(1,0),P\left(x_0,y_0\right)$，且 $\triangle PAB$ 满足 $\tan\dfrac{\angle PAB}2=\dfrac{PB}{AP+AB}$．
1、判断 $(0,-1)$ 能否作为 $P$ 点的坐标；
2、证明：$\triangle PAB$ 为直角三角形；
3、记点 $P$ 的轨迹为曲线 $\Omega$，过点 $(2,1)$ 的直线 $l$ 从左到右依次交 $\Omega$ 于 $M,N,Q$ 三点， 若满足 $|MQ|\cdot|NQ|=m$ 的 $l$ 有且只有一条，求 $m$ 的取值范围．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=\dfrac 1 2$，对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $\dfrac{S_n}{a_n}=2^n-\lambda$，其中 $\lambda$ 为定值．
1、求 $\lambda$ 的值以及数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
2、求集合 $A=\left\{x\mid x=\cos\dfrac{\pi}{12 a_n},n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 的元素个数．
定义数阵 $A(m,n)$（$m,n\in\mathbb N^{\ast}$）如下：\[ A(1,n)=\dfrac 12n,\quad A(m+1,n)=\dfrac 1n\sum_{i=1}^nA(m,i),\]则
① $A(3,9)=$ _____；
② 当 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $m,n\leqslant 2025$ 时，$A(m,n)$ 中取值为整数的个数为_____．
