2024年中科大入学考试数学试卷 #10
设圆 $x^2+y^2=1$ 的内接正 $n$ 边形的面积为 $A_n$，记 $Q_n=\dfrac{A_{4 n}-A_{2 n}}{A_{2 n}-A_n}$，$n\geqslant 3$．求证：$\dfrac 1 4<Q_n<\dfrac 1 3$ 并且 $\pi<\dfrac{A_{2 n}-Q_n A_n}{1-Q_n}$．
已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=\left(1+\dfrac ax\right)\cdot \left(1+\dfrac 1x\right)^x$（$x>0$）．
1、当 $a=1$ 时，求证：$f(x)>\mathrm e$；
2、若 $f(x)>\mathrm e$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
3、已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$\dfrac 32<\left(1+\dfrac1{2n}\right)^n<\dfrac 53$．
已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=|x^2-1|-x^2+ax$．
1、若 $f(x)$ 是偶函数，求实数 $a$ 的值；
2、若函数 $f(x)$ 的图象与直线 $y=2x$ 在第一象限有 $2$ 个公共点，公共点横坐标分别为 $x_1,x_2$（$ x_1<x_2 $），求证：$ 4x_1-3x_2<a-2<4x_2-3x_1$．
已知 $a,b,c>0$ 且 $a^2+b^2=c^2$，则使不等式 $\dfrac1{32a}+\dfrac{1}{32b}+\dfrac 1c\geqslant \dfrac k{a+b+c}$ 恒成立的实数 $k$ 的最大值是_____．
将方程 $\tan x=x$ 的所有正根从小到大依次排列，设第 $n$ 个为 $r_n$．求证：对任意正整数 $n$，都有\[0<r_{n+1}-r_n-\pi<\frac{1}{\left(n^2+n\right) \pi}.\]
已知正数 $x, y$ 满足 $\sqrt{9 x^2-1}+\sqrt{9 y^2-1}=9 x y$，则 $4 x^2+y^2$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac 34$
B．$\dfrac 89$
C．$1$
D．$\dfrac 54$
已知 $x^2=2 p y$（$p>0$）的焦点为 $ F $，且经过 $ F $ 的直线被圆 $(x-1)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2=9 $ 截得的线段长度的最小值为 $ 4$．
1、求拋物线的方程；
2、设坐标原点为 $O$，若经过点 $(2,0)$ 作直线 $l$ 与抛物线相交于不同的两点 $P, Q$，过点 $P,Q$ 作拋物线的切线分别与直线 $O Q, O P$ 相交于点 $M, N$，请问直线 $M N$ 是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
已知 $F_1$ 为椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点，直线 $y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} b$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\triangle A B F_1$ 的周长和面积分别是 $4+4 \sqrt{2}$ 和 $ 2$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、若 $P(2,1)$ 关于原点的对称点为 $Q$，不经过 $P$ 且斜率为 $\dfrac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $D, E$，直线 $P D$ 与 $Q E$ 交于点 $M$，证明：点 $M$ 在定直线上．
若无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 的满足对于给定的正整数 $k$，$\displaystyle a_n=\dfrac{1}{2 k+1} \sum\limits_{i=n-k}^{n+k} a_i$ 对任意大于 $k$ 的正整数 $n$ 均成立，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 是 $k$ 可均分数列．
1、若各项均为正整数的递增数列 $\left\{a_n\right\}$ 是 $3$ 可均分数列，且 $a_5-a_4=1$，$a_1=1$，求 $a_4$；
2、若 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列是 $\left\{a_n\right\}$ 是 $k$ 可均分数列的充要条件，求 $k$；
3、若 $\left\{a_n\right\}$ 既是 $2$ 可均分数列，也是 $3$ 可均分数列，$\left\{b_n\right\}$ 满足：$b_n=a_{n+1}^2-a_n a_{n+2}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），求证：$\left\{b_n\right\}$ 是 $24$ 可均分数列．
已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ 的左、右顶点分别为 $A_1, A_2$，过点 $P(4,0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $M, N$ 两点．
1、若直线 $l$ 的斜率 $k$ 存在，求 $k$ 的取值范围；
2、记直线 $A_1 M, A_2 N$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，求 $\dfrac{k_1}{k_2}$ 的值； 设 $G$ 为直线 $A_1 M$ 与直线 $A_2 N$ 的交点，$\triangle G M N, \triangle G A_1 A_2$ 的面积分别为 $S_1, S_2$，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值．
