Math173

设函数 $y=f(x),x\in D$．记 $\underbrace{f(f(f\cdots f(x)))}_{n~\text{个}~f}=f_n(x)$，$n\in\mathbb N$，$n\geqslant 1$．对于 $D$ 的非空子集 $A$，若对任意 $x\in A$，都有 $f(x)\in A$，则称函数 $y=f(x)$ 在集合 $A$ 上封闭．

（1）若 $g(x)=2^x$，$h(x)=2^{-x}$，$A=[0,1]$，分别判断函数 $y=g(x)$ 和 $y=h(x)$ 是否在集合 $A$ 上封闭；

（2）设 $f(x)=x^2$，$x\in\mathbb R$，区间 $B=[a,b]$（其中 $a<b$），若函数 $y=f(x)$ 在集合 $B$ 上封闭，求 $b-a$ 的最大值；

（3）设 $k\in\mathbb N$，$k\geqslant 1$，若函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，函数 $y=f(x)$ 和 $y=f_k(x)$ 的图象都是连续的曲线，且函数 $y=f_k(x)$ 在区间 $I=[a,b]$（其中 $a<b$）上封闭，证明：存在 $x_0\in\mathbb R$，使得 $f\left(x_0\right)=x_0$．

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2024年10月广深实验高三数学六校考试模拟考试 #18

已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-2 a x-1+2 a$．

（1）若 $a\in\mathbb R$，讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）若 $a\in\mathbb R$，已知函数 $g(x)=(x-1)\ln (x-1)$，若 $f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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2024年10月广深实验高三数学六校考试模拟考试 #14

已知定义域均为 $D$ 的函数 $f(x),g(x)$，若 $\forall x\in D,f(x)\geqslant a x+b\geqslant g(x)$，则称直线 $y=a x+b$ 为曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的隔离直线．若 $f(x)=x^2+x-x\ln x-3$（$x\geqslant 1$），$g(x)=-x^2+4 x-4$（$x\geqslant 1$）则曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的隔离直线的方程为_____．

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2024年10月广深实验高三数学六校考试模拟考试 #8

若函数 $f(x)=\ln x+\dfrac 1 2 x^2+a x$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\leqslant-9$，则实数 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$(-\infty,-4]$

B．$[4,+\infty)$

C．$\left(-\infty,-4\sqrt 2\right]$

D．$\left[2\sqrt 2,+\infty\right)$

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2024年浙江杭州高三一模数学试题 #19

已知正项有穷数列 $A: a_1,a_2,\cdots,a_N$（$N\geqslant 3$），设 $T=\left\{x\mid x=\dfrac{a_j}{a_i},1\leqslant i<j\leqslant N\right\}$，记 $T$ 的元素个数为 $P(T)$．

（1）若数列 $A: 1,2,4,16$，求集合 $T$，并写出 $P(T)$ 的值；

（2）若 $A$ 是递增数列或递减数列，求证：" $P(T)=N-1$ " 的充要条件是 " $A$ 为等比数列"；

（3）若 $N=2 n+1$，数列 $A$ 由 $2,4,8,\cdots,2^n,4^n$ 这 $n+1$ 个数组成，且这 $n+1$ 个数在数列 $A$ 中每个至少出现一次，求 $P(T)$ 的取值个数．

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2024年浙江杭州高三一模数学试题 #18

已知函数 $f(x)=a x\ln x-x^3-1$．

（1）若 $a=1$，求 $f^{\prime}(x)$ 的单调区间；

（2）若 $0\leqslant a\leqslant 3$，求证：$f(x)<0$；

（3）若 $h(x)=\dfrac{f(x)+x^3+1}a$，且存在 $x_1\neq x_2$ 使得 $h\left(x_1\right)=h\left(x_2\right)=b$，求证：\[b\mathrm e+1<\left|x_1-x_2\right|<b+1.\]

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2024年浙江杭州高三一模数学试题 #17

设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，$P\left(X=x_i\right)=p_i>0$（$i=1,2,\cdots,n$），且 $p_1+p_2 +\cdots+p_n=1$．定义事件 $X=x_i$ 的信息量为 $H_i=-\ln p_i$，称 $X$ 的平均信息量\[H(X)= -\left(p_1\ln p_1+p_2\ln p_2+\cdots+p_n\ln p_n\right)\]为信息熵．

（1）若 $n=3$，$p_{k+1}=2 p_k$（$k=1,2$），求此时的信息熵；

（2）最大熵原理：对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大．信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定．证明：$H(X)\leqslant\ln n$，并解释等号成立时的实际意义． （参考不等式：若 $f(x)=\ln x$，则 $\displaystyle\sum_{i=1}^n p_i f\left(x_i\right)\leqslant f\left(\sum_{i=1}^n p_i x_i\right)$）

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2024年浙江杭州高三一模数学试题 #11

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，若 $f(f(x)+y z)=x+f(y) f(z)$，则（       ）

A．$f(1)=0$

B．$f(f(x))=x$

C．$f(x y)=f(x) f(y)$

D．$f(x+y)=f(x) f(y)$

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2024年浙江杭州高三一模数学试题 #8

已知 $\forall x\in[1,+\infty)$，不等式 $\left(\ln^2 (ax)-1\right)\left(\mathrm e^x-b\right)\geqslant 0$ 恒成立，则（       ）

A．若 $a\in\left(0,\dfrac 1 {\mathrm e}\right)$，则 $b\leqslant\mathrm e$

B．若 $a\in\left(0,\dfrac 1 {\mathrm e}\right)$，则 $b>\mathrm e$

C．若 $a\in\left[\dfrac 1 {\mathrm e},\mathrm e\right)$，则 $a^b=\mathrm e^e$

D．若 $a\in\left[\dfrac 1 {\mathrm e},\mathrm e\right)$，则 $b^a=\mathrm e^\mathrm e$

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2024年浙江杭州高三一模数学试题 #7

已知 $\dfrac 1{\sin 10^{\circ}}-\dfrac{\lambda}{\cos 10^{\circ}}=4$，则 $\lambda=$ （       ）

A．$1$

B．$\sqrt 2$

C．$\sqrt 3$

D．$2$

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