2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #19
对于一个四元整数集 $A=\{a,b,c,d\}$，如果它能划分成两个不相交的二元子集 $\{a,b\}$ 和 $\{c,d\}$，满足 $a b-c d=1$，则称这个四元整数集为有趣的．
（1）写出集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 的一个有趣的四元子集；
（2）证明：集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 不能划分成两个不相交的有趣的四元子集；
（3）证明：对任意正整数 $n$（$n\geqslant 2$），集合 $\{1,2,3,\cdots,4 n\}$ 不能划分成 $n$ 个两两不相交的有趣的四元子集．
2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #18
如图，已知抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，过点 $P(-1,2)$ 作一条不经过 $F$ 的直线 $l$，若直线 $l$ 与拋物线交于异于原点的 $A,B$ 两点，点 $B$ 在 $x$ 轴下方，且 $A$ 在线段 $PB$ 上．
（1）试判断：直线 $FA,FB$ 的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（2）过点 $B$ 作 $PF$ 的垂线交直线 $AF$ 于点 $C$，若 $\triangle FBC$ 的面积为 $4$，求点 $B$ 的坐标．
2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #17
已知函数 $f(x)=x^2+2 x+4$，$g(x)=2\ln x+2 x+5$．
（1）判断函数 $g(x)$ 的零点个数，并说明理由；
（2）求曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的所有公切线方程．
2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #14
将 $12$ 张完全相同的卡牌分成 $3$ 组，每组 $4$ 张．第 $1$ 组的卡牌左上角都标 $1$，右下角分别标上 $1,2,3,4$；第 $2$ 组的卡牌左上角都标 $2$，右下角分别标上 $2,3,4,5$；第 $3$ 组的卡牌左上角都标 $3$，右下角分别标上 $3,4,5,6$．将这 $12$ 张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取 $3$ 张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为_____．
2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #11
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+2}\left(a_{n+1}-a_n\right)=a_n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），记 $T_n=a_1 a_2+a_2 a_3+\cdots+a_n a_{n+1}$，$T_{12}=4$，则（ ）
A．$\left\{a_n\right\}$ 是递减数列
B．$a_{2024}=\dfrac 6{2029}$
C．存在 $n$ 使得 $T_n=\dfrac 4 3$
D．$\displaystyle\sum_{i=1}^{100}a_i>10$
2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #8
正三棱台 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$AB=2 A_1 B_1=2\sqrt 3$，$AA_1=2$，点 $D$ 为棱 $AB$ 中点，直线 $l$ 为平面 $A_1 B_1 C_1$ 内的一条动直线．记二面角 $C-l-D$ 的平面角为 $\theta$，则 $\cos\theta$ 的最小值为（ ）
A．$0$
B．$\dfrac 1 8$
C．$\dfrac{\sqrt 7}{14}$
D．$\dfrac 1 7$
2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #7
已知 $A,B$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}3=1$ 的公共顶点，$M$ 是双曲线上一点，直线 $MA,MB$ 分别交椭圆于 $C,D$ 两点，若直线 $CD$ 过椭圆的焦点 $F$，则线段 $CD$ 的长度为（ ）
A．$\dfrac 3 2$
B．$3$
C．$2\sqrt 3$
D．$\dfrac 3 2\sqrt 3$
2024年清华大学暑期工科营数学试题 #8
已知函数 $f(x)=a \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac x2+2 \cos ^2 \dfrac{x}{2}+1$，$x \in(0,2 \pi)$，$f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{10}+2$，且在 $\left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)$ 上单调递增．
（1）求 $a$ 的值；
（2）若 $y=2$ 与 $f(x)$ 相交于点 $A$，过 $A$ 点的直线与 $f(x)$ 交于两点，横坐标为 $x_1, x_2$，求 $\sin \left(x_1+x_2\right)$；
（3）若 $f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)=2$，求 $\cos \left(x_1-x_2\right)$．
2024年清华大学暑期工科营数学试题 #4
直线 $l: \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ 与圆 $x^2+y^2=25$ 有横、纵坐标都为整数的交点，则满足条件的直线 $l$ 有_____条．
