Math173

2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #14

已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x$，$g(x)=\ln x-a x$，若对任意 $x_{1} \in(0,+\infty)$，都存在 $x_{2} \in(0,+\infty)$，使得 $f\left(x_{1}\right) g\left(x_{2}\right)=x_{1} x_{2}$，则实数 $a$ 的取值范围为_____．

继续阅读 →

2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #13

已知 $f(x)=\sin x$，记函数 $y=f(x)$ 在闭区间 $I$ 上的最大值为 $M_{I}$．若正数 $k$ 满足 $M_{[0, k]}=2 M_{[k, 2 k]}$，则 $k=$_____．

继续阅读 →

2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #11

已知等差数列 $\left\{\alpha_{n}\right\}$ 的公差为 $\theta$，$b_{n}=\cos \alpha_{n}$，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，$S=\left\{S_{n} \mid n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$，若存在 $\alpha_{1}$，使得 $S$ 中恰好有 $3$ 个元素，则 $\theta$ 可能的取值为（       ）

A．$\dfrac{\pi}{3}$

B．$\dfrac{\pi}{2}$

C．$\dfrac{2 \pi}{3}$

D．$\pi$

继续阅读 →

2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #7

设 $f(x)=x(x-3)^{2}$，若方程 $f(x)=k$（$k \in \mathbb{R}$）有 $3 $ 个不同的根 $a, b, c$，则 $a b c$ 的取值范围为（       ）

A．$(-4,0)$

B．$(-2,0)$

C．$(0,4)$

D．$(0,2)$

继续阅读 →

2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #19

兵乓球比赛常用 $2n-1$ 局 $n$ 胜的赛制，其中 $n$ 是不小于 $2$ 的正整数，具体是指率先获取 $n$ 局比赛胜利的一方获胜（这样总比赛局数最多为 $2n-1$ 局）．

1、甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用 $5$ 局 $3$ 胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为 $0.8$：若采用 $7$ 局 $4$ 胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为 $0.9$．已知甲、乙两人共进行了 $m$（$m\in\mathbb N^{\ast}$）场比赛，请根据小概率值 $\alpha=0.010$ 的 $\chi^2$ 独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． 附：$\chi^2=\dfrac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中 $n=a+b+c+d$．\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline P\left(\chi^2\geqslant \chi_0\right) & 0.05 & 0.025 & 0.010\\\hline k_0 & 3.841 & 5.024 & 6.635\\\hline \end{array}\]

2、若甲、乙两人采用 $5$ 局 $3$ 胜制比寒，设甲每局比赛的胜率均为 $p$，没有平局．记

事件 $A$ 为：甲只要取得 $3$ 局比赛的胜利比赛结束且甲获胜；

事件 $B$ 为：两人赛满 $5$ 局，甲至少取得 $3$ 局比赛胜利且甲获胜，

试证明：$P(A)=P(B)$．

3、甲、乙两人进行乒乓球比寒，每局比赛甲的胜率都是 $p$（$p>0.5$），没有平局．若采用 $2n-1$ 局 $n$ 胜的赛制，甲获胜的概率为 $p(n)$，试比较 $ p(n)$ 和 $ p(n+1)$ 的大小．

继续阅读 →

2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #18

已知函数 $f(x)=a x+\sin x$，$x\in[0,\pi]$．

1、若 $a=-1$，证明：$f(x)\leqslant 0$；

2、若 $f(x)\leqslant 0$，求 $a$ 的取值范围；

3、若 $a\neq 0$，记 $g(x)=\dfrac 1 a f(x)-\ln (x+1)$，讨论函数 $g(x)$ 的零点个数．

继续阅读 →

2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #14

已知 $f(x)=|\ln a-\ln x-2|+\left|\dfrac a x-1\right|$，则 $f(x)$ 的最小值为_____．

继续阅读 →

2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #11

一条动直线 $l_1$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切，并与圆 $x^2+y^2=25$ 相交于点 $A,B$，点 $P$ 为定直线 $l_2: x+y-10=0$ 上动点，则下列说法正确的是（       ）

A．存在直线 $l_1$，使得以 $AB$ 为直径的圆与 $l_2$ 相切

B．$|PA|^2+|PB|^2$ 的最小值为 $150-20\sqrt 2$

C．$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的最大值为 $-27+10\sqrt 2$

D．$|PA|+|PB|$ 的最小值为 $8\sqrt 3$

继续阅读 →

2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 19

如图，已知点列 $P_n\left(x_n, \dfrac{4}{x_n}\right)$ 与 $A_n\left(a_n, 0\right)$ 满足 $x_{n+1}>x_n$，$\overrightarrow{P_n P_{n+1}} \perp \overrightarrow{A_n P_{n+1}}$ 且 $\left|\overrightarrow{P_n P_{n+1}}\right|=\left|\overrightarrow{A_n P_{n+1}}\right|$，其中 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，$x_1=\sqrt{2}$．

1、求 $x_{n+1}$ 与 $x_n$ 的关系式；

2、证明：$2 n^2+4 n+4 \leqslant x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots+x_{n+1}^2 \leqslant 4 n^2+6 n$．

继续阅读 →

2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #17

已知椭圆 $E:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴长是 $4$，$D$ 为右顶点，$P, Q, M, N$ 是椭圆 $E$ 上异于顶点的任意四个点，当直线 $P Q$ 经过原点 $O$ 时，直线 $P D$ 和 $Q D$ 的斜率之积为 $-\dfrac{1}{4}$．

1、求椭圆 $E$ 的方程；

2、当直线 $M D$ 和 $N D$ 的斜率之积为定值 $-2$ 时，直线 $MN$ 是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

继续阅读 →