Math173

2024年10月九省联考高三数学质量检测 #19

已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_1,f\left(a_1\right)\right)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_2,0\right)$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_2,f\left(a_2\right)\right)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_3,0\right)$，依此类推，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_n,f\left(a_n\right)\right)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_{n+1},0\right)$，其中数列 $\left\{a_n\right\}$ 称为函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1$ 的切线数列．

1、若 $f(x)=\sin x$，$\left\{a_n\right\}$ 是函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1=\dfrac{\pi}3$ 的切线数列，求 $a_2$ 的值；

2、若 $f(x)=-\dfrac 1 2 x^2+\dfrac 1 2$，$\left\{a_n\right\}$ 是函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1=-\dfrac 5 3$ 的切线数列，记 $b_n=\log_2\dfrac{a_n-1}{a_n+1}$，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；

3、若 $f(x)=\dfrac x{x^2-m}$（$m>0$），是否存在 $a_1$（$a_1\neq 0$），使得函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1$ 的切线数列 $\left\{a_n\right\}$ 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的 $a_1$；若不存在，请说明理由．

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2024年10月九省联考高三数学质量检测 #14

若函数 $f(x)=\dfrac x{\mathrm e^x}-m(2 x+1)$ 恰有 $2$ 个零点，则实数 $m$ 的取值范围是____．

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2024年10月九省联考高三数学质量检测 #11

已知 $a\left({\rm e}^a-1\right)>(b-1)\ln b$，其中 $\rm{e}$ 是自然对数的底数，则（       ）

A．若 $a>0$，则 $\mathrm e^a>b$

B．若 $a>0$，则 $a>b$

C．若 $a<0$，则 $b {\rm e}^a<1$

D．若 $a<0$，则 $\mathrm e^a>2-b$

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2024年10月九省联考高三数学质量检测 #7

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，正整数 $k\geqslant 2$．

命题 $p$：若 $S_1 S_2\cdots S_k=0$，则 $a_1 a_2\cdots a_k =0$；

命题 $q$：若 $T_1 T_2\cdots T_k=0$，则 $b_{k-1}+b_k =0$； 则（       ）

A．$p$ 是真命题，$q$ 是假命题

B．$p$ 是假命题，$q$ 是真命题

C．$p$ 与 $q$ 都是真命题

D．$p$ 与 $q$ 都是假命题

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2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #19

$n$ 为不小于 $3$ 的正整数，对整数数列 $S_0: a_1,a_2,\cdots,a_n$，可以做以下三种变换： ① 将 $a_1,a_2,\cdots,a_{n}$ 中的 $a_1$ 减 $1$，$a_2$ 加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_1$ 变换； ② 取 $i\in\{2,\cdots,n-1\}$，将 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中的 $a_i$ 减 $2$，$a_{i-1},a_{i+1}$ 均加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_i$ 变换； ③ 将 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中的 $a_n$ 减 $1$，$a_{n-1}$ 加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_n$ 变换． 将数列 $S_0$ 做一次变换得到 $S_1$，将数列 $S_1$ 做一次变换得到 $S_2$，$\cdots\cdots$ 例如：$n=4$ 时，对数列 $S_0: 0,-1,1,0$ 依次做 $A_3,A_4$ 变换，意义如下： 先对 $S_0$ 做 $A_3$ 变换得到数列 $S_1: 0,0,-1,1$，再对 $S_1$ 做 $A_4$ 变换得到数列 $S_2: 0,0,0,0$．

1、$n=5$ 时，给定数列 $S_0: 0,-1,1,0,0$，求证：可以对 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $0,0,0,0,0$；

2、$n=5$ 时，求证：对任意整数数列 $S_0: a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$，若 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$，则可以对 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $0,0,0,0,0$；

3、若将变换 ① 中的 $a_2$ 改为 $a_3$，将变换 ③ 中的 $a_{n-1}$ 改为 $a_{n-2}$，在 $n=10$ 时，求证：对任意整数数列 $S_0: a_1,a_2,\cdots,a_{10}$，若 $a_1+a_2+\cdots+a_{10}=0$，且 $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$ 和 $a_2+a_4+a_6+a_8 +a_{10}$ 均为偶数，则可以对整数数列 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $\underbrace{0,0,\cdots,0}_{10~\text{个}}$．

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2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #18

已知过 $A(-1,0)$，$B(1,0)$ 两点的动抛物线的准线始终与圆 $x^2+y^2=9$ 相切，该抛物线焦点 $P$ 的轨迹是某圆锥曲线 $E$ 的一部分．

1、求曲线 $E$ 的标准方程；

2、已知点 $C(-3,0)$，$D(2,0)$，过点 $D$ 的动直线与曲线 $E$ 交于 $M,N$ 两点，设 $\triangle CMN$ 的外心为 $Q$，$O$ 为坐标原点，问：直线 $OQ$ 与直线 $MN$ 的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由．

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2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #17

设函数 $f(x)=\left(x-\dfrac{\pi}2\right)\cos x+1$．

1、讨论函数 $f(x)$ 在区间 $[0,\pi]$ 上的单调性；

2、判断并证明函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}2\right]$ 上零点的个数．

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2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #16

在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为直角梯形，$AD\parallel BC$，$AB\perp AD$，$PA\perp~\text{平面}~ABCD$，$AP=AD=2 AB=4 BC$．

1、求证：平面 $PAC\perp~\text{平面}~PBD$；

2、$AM\perp~\text{平面}~PCD$ 于点 $M$，求二面角 $M-AD-P$ 的余弦值．

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2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #15

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $\dfrac{1+\sin A}{\cos A}=\dfrac{1+\sin B}{\cos B}$．

1、判断 $\triangle ABC$ 的形状；

2、设 $AB=2$，且 $D$ 是边 $BC$ 的中点，求当 $\angle CAD$ 最大时 $\triangle ABC$ 的面积．

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2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #14

已知函数 $f(x)=a^{x-1}-\log_a(x-1)$（其中 $a>0$，且 $a\neq 1$）为其定义域上的单调函数，则实数 $a$ 的取值范围为_____．

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