Math173

设 $a=\cos x+\cos(2x)+\cos(3x)$，$b=\sin x+\sin(2x)+\sin(3x)$，则 $a^2+b^2$ 的最大值是_____，最小值是_____．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，斜率不为 $0$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点（$A$ 在 $B$ 的左侧），直线 $F_1A,F_1B$ 的斜率互为相反数．

1、求证：直线 $l$ 过定点；

2、设直线 $F_1B,F_2A$ 相交于点 $M$，求证：$|MF_2|-|MF_1|$ 为定值．

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已知椭圆 $E$ 的焦点在 $x$ 轴上，中心为原点 $O$，经过点 $A\left(\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right), B(0,1)$．

1、求 $E$ 的标准方程；

2、定义：若椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两个点 $M\left(x_1, y_1\right), N\left(x_2, y_2\right)$ 满足 $\dfrac{x_1 x_2}{a^2}+\dfrac{y_1 y_2}{b^2}=0$，则称 $M, N$ 为该椭圆的一个共轭点对，记作 $[M, N]$．

① 证明；存在两个点 $G$ 使得 $[A, G]$ 是 $E$ 的共轭点对，并求 $G$ 的坐标：

② 设 ① 中的两个点 $G$ 分別为 $G_1, G_2$，已知过点 $P(2,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $C, D$ 两点，则直线 $G_1 G_2$ 上是否存在定点 $Q$，使得直线 $Q C$ 与 $Q D$ 的斜率之积为定值．若存在，求出 $Q$ 的坐标：若不存在，请说明理由．

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已知平面直角坐标系 $x O y$ 上一动点 $Q$ 满足 $|Q E|-|Q F|=2 \sqrt{2}$，$E(-\sqrt{3}, 0), F(\sqrt{3}, 0) $．

1、求点 $Q$ 的轨迹 $C$ 的方程；

2、斜率为 $ -1 $ 的直线与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $P(2,1)$．

① 求直线 $A P,B P$ 的斜率之和；

② $\triangle P A B$ 的外接圆圆心 $M$ 是否在某定直线上？说明理由．

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已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$，$ a_{n+1}=\begin{cases} a_n-n, & a_n>n, \\ a_n+n, & a_n \leqslant n,\end{cases}$ 将所有满足 $a_k=100$ 的正整数 $k$ 从小到大排列得到数列 $\{b_n\}$，则（       ）

A．存在无穷多项 $a_n$，使得 $a_n=n$

B．对于任意正整数 $m$，存在 $n$，使得 $a_n=m$

C．数列 $\left\{b_n\right\}$ 的最小项不小于 $100$

D．不存在 $m$，使得 $\left\{b_n-m\right\}$ 是等比数列

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已知对任意实数 $x\geqslant 2$，都有 $x^2+x+a\geqslant a^2+a\sqrt{x+2}$，则实数 $a$ 的取值范围是_____．

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2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#19

已知 $a\in \mathbb R$，函数 $f(x)=(x+1)\ln (x+1)-a\sin x$．

1、讨论函数 $f(x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 内的零点个数；

2、若 $\exists a\in[0,1]$，使得 $f(x-1)+a x^2\leqslant\dfrac 1 2 b\mathrm e^{b x}$ 对 $\forall x\in(1,+\infty)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围；

3、若方程 $f(x-1)=(x+1)\ln x-2 a x$（$a>0$）有两个不相等的实根 $x_1,x_2$，求证：$x_1\cdot x_2<\dfrac 1{a^2}$．

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2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#18

已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，离心率等于 $2$，右焦点 $F$ 到其渐近线的距离等于 $\sqrt 3$．

1、求双曲线 $C$ 的方程；

2、经过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，以 $AB$ 为直径的圆记为圆 $M$．

① 求证：圆 $M$ 恒过某个定点，并求出此定点的坐标；

② 是否存在某个定圆与圆 $M$ 相切，若存在，请求出此定圆的方程，若不存在，请说明理由．

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2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#17

某商场为庆祝元旦，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有 $5$ 个除颜色外其他都相同的小球，其中 $3$ 黑球 $2$ 个红球．\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline \text{取球结果} & 2 ~\text{个红球} & 2~\text{个黑球} &\text{红,黑球各}~ 1~\text{个}\\ \hline \text{奖金} & 300~\text{元} & 200~\text{元} & 100 元\\\hline \end{array}\]

1、消费每满 $2000$ 元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取 $2$ 个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望；

2、若该商场对消费不足 $2000$ 元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一位抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是 $3$ 个黑球和 $2$ 个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取 $1$ 个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则将球放回后再往盒子中加 $1$ 个黑球，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．设第 $i$ 个抽幸运奖顾客获得第 $1$ 份幸运礼品记为事件 $A_i$，设第 $j$ 个抽幸运奖顾客获得第 $2$ 份幸运礼品记为事件 $B_j$．

① 求 $P\left(A_1 B_3\right)$ 和 $P\left(A_2\mid B_3\right)$；

② 求第 $k$（$k\geqslant 2$）位抽幸运奖顾客刚好获得第 $2$ 份幸运礼品的概率 $P(k)$．

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2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#14

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，且满足 $f\left(\dfrac{\pi}6\right)=\mathrm e^{\frac{\pi}6}$，$f^{\prime}(x)\geqslant\left(1-\dfrac 1{\tan x}\right) f(x)$，则 $f\left(\dfrac{\pi}3\right)$ 的最小值为 _____．

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