Math173

2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #17

已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，长轴长与短轴长之和为 $6$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、已知 $M(-1,0), N(1,0)$，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，设直线 $P M$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为点 $B$，直线 $P N$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为点 $D$．设 $\overrightarrow{P M}=\lambda_1 \overrightarrow{M B}$，$\overrightarrow{P N}=\lambda_2 \overrightarrow{N D}$．求证：当点 $P$ 在椭圆 $C$ 上运动时，$\lambda_1+\lambda_2$ 为定值．

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2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #16

如左图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$Q_1, Q_2$ 分别为正方形 $A B C D,A_1 B_1 C_1 D_1$ 的中心，现保持平面 $A B C D$ 不动，在上底面 $A_1 C_1$ 内将正方形 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 绕点 $Q_2$ 逆时针方向旋转 $45^{\circ}$，得到如右图所示的一个十面体 $A B C D-E F G H$．

1、证明：$E F\parallel ~\text{平面}~A B C D$；

2、设 $Q_1 Q_2$ 的中点为 $O$，求点 $O$ 到平面 $D B E$ 的距离；

3、求平面 $D B E$ 与平面 $D B G$ 所成角的余弦值．

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2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #14

随机将 $1,2, \cdots, 2 n$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$，$n \geqslant 2$）这 $2 n$ 个连续正整数分成 $A, B$ 两组，每组 $n$ 个数，$A$ 组最大数为 $a$，$B$ 组最大数为 $b$，记 $\xi=|a-b|$．当 $n=3$ 时，$\xi$ 的数学期望 $E(\xi)=$ _____；若对任意 $n \geqslant 2$，$E(\xi)<c$ 恒成立，则 $c$ 的最小值为_____．

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2025年上海市春季高考数学试卷 #16

已知 $a \in \mathbb{R}$，关于 $x$ 的不等式 $\left(\tan\dfrac{\pi x}{6} -a\right)\left(\tan \dfrac{\pi x}{6} -a-1\right)<0$ 在 $(0,2025)$ 中的整数解有 $m$ 个．关于 $m$ 的取值，以下不可能的是（       ）

A．$0$

B．$338$

C．$674$

D．$1012$

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2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #11

设直线 $y=t$ 与函数 $f(x)=x(x-3)^2$ 图象的三个交点分别为 $A(a, t), B(b, t), C(c, t)$，且 $a<b<c$，则（       ）

A．$f(x)$ 图象的对称中心为 $(2,2)$

B．$a b c$ 的取值范围为 $(0,12)$

C．$a c$ 的取值范围为 $(0,4)$

D．$c-a$ 的取值范围为 $\left(3,2 \sqrt{3}\right]$

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2025年上海市春季高考数学试卷 #12

在平面中，$\boldsymbol{e}_1$ 和 $\boldsymbol{e}_2$ 是互相垂直的单位向量，向量 $\boldsymbol{a}$ 满足 $\left|\boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{e_1}\right|=2$，向量 $\boldsymbol{b}$ 满足 $\left|\boldsymbol{b}-6 \boldsymbol{e_2}\right|=1$，则 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影数量的最大值是_____．

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已知实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n>0$，证明： $$\sum_{i=1}^n\dfrac{a_{i-1}}{a_i}\geqslant\sum_{i=1}^n\dfrac{a_{i-1}+a_i+1}{a_i+a_{i+1}+1},$$ 其中 $a_0=a_n$，$a_{n+1}=a_1$．

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2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #12

现有 $11$ 位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午 $9$ 点开始到下午 $5$ 点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要 $1$ 位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解 $2$ 场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责，则馆方共有_____种排班方式．

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2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #11

已知 $a , b$ 为正整数，$a<b$，且 $a , b$ 互质，关于 $x , y$ 的不等式 $a x+b y<a b$ 有且只有 $2023$ 组正整数解，则 $(a, b)=$ _____．（求出满足题意的所有可能数组）

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2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #9

使得 $n^2+2023 n$ 为平方数的正整数 $n$ 的最小值是____．

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