已知函数 $f(x)=\begin{cases} x^2-2 x, &x \geqslant a, \\ 2^x+a, &x<a .\end{cases}$ 给出下面四个结论：
① 当 $a=1$ 时 $f(x)$ 只有一个零点；
② 对任意 $a>3$，$f(x)$ 既没有最大值，也没有最小值；
③ 存在实数 $ a $，$f(x)$ 在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增；
④ 若 $ f(x)$ 存在最小值，则 $ a $ 的最小值为 $ -1$．
其中所有正确结论的序号是_____．
已知不等式 $(x-m)\left(x^2-n x-2\right) \geqslant 0$ 对任意 $x>0$ 均成立，则 $m^2+n^2$ 的最小值为（ ）
A．$4 \sqrt{2}-4$
B．$4$
C．$4 \sqrt{2}$
D．$4 \sqrt{2}+2$
如图，边长分别为 $1,2,\sqrt 5$ 的直角三角形 $PQR$ 内接于等腰直角三角形 $ABC$，直角顶点在斜边 $AB$ 上，$Q,R$ 分别在 $BC,CA$ 上，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_____．
已知正数 $x, y$ 满足 $\sqrt{9 x^2-1}+\sqrt{9 y^2-1}=9 x y$，则 $4 x^2+y^2$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac 34$
B．$\dfrac 89$
C．$1$
D．$\dfrac 54$
将方程 $\tan x=x$ 的所有正根从小到大依次排列，设第 $n$ 个为 $r_n$．求证：对任意正整数 $n$，都有\[0<r_{n+1}-r_n-\pi<\frac{1}{\left(n^2+n\right) \pi}.\]
已知 $a,b,c>0$ 且 $a^2+b^2=c^2$，则使不等式 $\dfrac1{32a}+\dfrac{1}{32b}+\dfrac 1c\geqslant \dfrac k{a+b+c}$ 恒成立的实数 $k$ 的最大值是_____．
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #19
将 $n$（$n\geqslant 2$）个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列 $\left\{a_n\right\}$，对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，如果 $a_i>a_j$，那么称数对 $\left(a_i,a_j\right)$ 构成数列 $\left\{a_n\right\}$ 的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
1、若将 $1,2,3,4$ 四个数构成的数列恰有 $2$ 个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
2、计算以下数列的逆序数．
① $a_n=-2 n+19$（$1\leqslant n\leqslant 100$）；
② $a_n=\begin{cases}\left(\dfrac 1 3\right)^n,&n~\text{为奇数},\\-\dfrac n{n+1},&n~\text{为偶数}\end{cases}$（$1\leqslant n\leqslant k$）；
3、已知数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的逆序数为 $a$，求 $a_n,a_{n-1},\cdots,a_1$ 的逆序数．
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #18
已知函数 $f(x)=(x+1)\mathrm e^{2-a x}+1$，$g(x)=(x+1)^{a x}\mathrm e^{2+(1-a) x}+1$．
1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的极值；
2、当 $a<0$ 时，讨论 $f(x)$ 零点个数；
3、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant g(x)$，求实数 $a$ 的取值范围．
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #10
有一组样本数据 $0,1,2,3,4$，随机添加一个数 $X$ 形成一组新的数据，且概率 $P(X=k)=\dfrac1{32}{\dbinom 5k}$（$k\in\{0,1,2,3,4,5\}$），则新的样本数据（ ）
A．第 $25$ 百分位数不变的概率是 $\dfrac 3{16}$
B．极差不变的概率是 $\dfrac{31}{32}$
C．平均值变大的概率是 $\dfrac 1 2$
D．方差变大的概率是 $\dfrac 7{32}$
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #8
如图，$B$ 地在 $A$ 地的正东方向 $4$ 千米处，$C$ 地在 $B$ 地的北偏东 $30^{\circ}$ 方向 $2$ 千米处，河流的沿岸 $PQ$（曲线）上任意一点到 $A$ 的距离比到 $B$ 的距离远 $2$ 千米．现要在曲线 $PQ$ 上选一处 $M$ 建一座码头，向 $B, C$ 两地转运货物．经测算，从 $M$ 到 $B, C$ 两地修建公路的费用分别是 $a$ 万元每千米和 $2 a$ 万元每千米，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．$(2\sqrt 7-2) a$ 万元
B．$5 a$ 万元
C．$(2\sqrt 7+1) a$ 万元
D．$(2\sqrt 3+3) a$ 万元
