2024年高考天津卷#19
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是公比大于 $0$ 的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_n$．若 $a_1=1$，$S_2=a_3-1$．
1、求数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$；
2、设数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=\begin{cases} k,&n=a_k,\\ b_{n-1}+2k,&a_k<n<a_{k+1},\end{cases}$ 其中 $k$ 是大于 $1$ 的正整数． ① 当 $n=a_{k+1}$ 时，求证：$b_{n-1}\geqslant a_k\cdot b_n$； ② 求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{S_n}b_i$．
2024年高考天津卷#18
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac 1 2$，左顶点为 $A$，下顶点为 $B$，$C$ 是线段 $OB$ 的中点，其中 ${\triangle ABC}$ 的面积为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$．
1、求椭圆方程．
2、过点 $C$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P,Q$．在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{TP}\cdot\overrightarrow{TQ}\leqslant 0$．若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
2024年广东四校高三年级第一次联考#5
小明爬楼梯每一步走 $1$ 级台阶或 $2$ 级台阶是随机的，且走 $1$ 级台阶的概率为 $\dfrac 2 3$，走 $2$ 级台阶的概率为 $\dfrac 1 3$．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第 $4$ 级台阶的条件下，他走了 $3$ 步的概率是（ ）
A．$\dfrac 4 9$
B．$\dfrac 4{27}$
C．$\dfrac 9{13}$
D．$\dfrac{36}{61}$
2024年高考天津卷#9
一个五面体 $ABC-DEF$ 中，已知 $AD\parallel BE\parallel CF$，且两两之间距离为 $1$．并已知 $AD=1$，$BE= 2$，$CF=3$，则该五面体的体积为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 3}6$
B．$\dfrac{3\sqrt 3}4+\dfrac 12$
C．$\dfrac{\sqrt 3}2$
D．$\dfrac{3\sqrt 3}4-\dfrac 12$
2024年高考北京卷#21
已知集合\[M=\{(i,j,k,w)\mid i\in\{1,2\},j\in\{3,4\},k\in\{5,6\},w\in\{7,8\},i+j+k+w~\text{为偶数}\}.\] 给定数列 $A:a_1,a_2,\cdots,a_8$ 和序列 $\Omega:T_1,T_2,\cdots,T_s$，其中\[T_t=\left(i_t,j_t,k_t,w_t\right)\in M,~t=1,2,\cdots,s,\]对数列 $A$ 进行如下变换： 将数列 $A$ 的第 $i_1,j_1,k_1,w_1$ 项均加 $1$，其余项不变，得到的数列记作 $T_1(A)$； 将 $T_1(A)$ 的第 $i_2,j_2,k_2,w_2$ 项加 $1$，其余项不变，得到的数列记作 $T_2 T_1(A)$； 以此类推，得到数列 $T_s\cdots T_2 T_1$，简记为 $\Omega(A)$．
1、给定数列 $A:1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)$，写出 $\Omega(A)$；
2、是否存在序列 $\Omega$，使得 $\Omega(A)$ 为\[ a_1+2,a_2+6,a_3+4,a_4+2,a_5+8,a_6+2,a_7+4,a_8+4?\]若存在，写出一个 $\Omega$，若不存在，说明理由；
3、若数列 $A$ 的各项均为正整数，且 $a_1+a_3+a_5+a_7$ 为偶数，求证：存在序列 $\Omega$，使得 $\Omega(A)$ 的各项均相等的充要条件为 $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8$．
2024年高考北京卷#20
设函数 $f(x)=x+k\ln (1+x)$（$k\ne 0$），直线 $l$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t,f(t))$（$t>0$）处的切线．
1、当 $k=-1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
2、求证：$l$ 不经过 $(0,0)$；
3、当 $k=1$ 时，设点 $A(t,f(t))$（$t>0$），$C(0,f(t))$，$O(0,0)$，$B$ 为 $ l $ 与 $ y $ 轴的交点，$ S_{\triangle ACO} $ 与 $ S_{\triangle ABO} $ 分别表示 $ \triangle ACO $ 与 $ \triangle ABO $ 的面积．是否存在点 $ A $ 使得 $ 2S_{\triangle ACO}=15S_{\triangle ABO} $ 成立？若存在，这样的点 $ A $ 有几个？ （参考数据：$ 1.09<\ln 3<1.10 $，$ 1.60<\ln 5<1.61 $，$ 1.94<\ln 7<1.95$）
2024年高考北京卷#19
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），以椭圆 $E$ 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 $2$ 的正方形．过点 $(0,t)$（$t>\sqrt 2$）且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点 $ A,B$，过点 $A$ 和 $C(0,1)$ 的直线 $ AC $ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $ D$．
1、求椭圆 $E$ 的方程及离心率；
2、若直线 $BD$ 的斜率为 $0$，求 $t$ 的值．
2024年高考北京卷#15
设 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合 $M=\{k\mid a_k=b_k,k\in\mathbb N^{\ast}\}$，给出下列四个结论：
① 若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 均为等差数列，则 $M$ 中最多有 $1$ 个元素；
② 若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 均为等比数列，则 $M$ 中最多有 $2$ 个元素；
③ 若 $\{a_n\}$ 为等差数列，$\{b_n\}$ 为等比数列，则 $M$ 中最多有 $3$ 个元素；
④ 若 $\{a_n\}$ 为递增数列，$\{b_n\}$ 为递减数列，则 $M$ 中最多有 $1$ 个元素．
其中正确的结论的序号是______．
2024年高考北京卷#10
已知 $M=\left\{(x,y)\mid y=x+t\left(x^2-x\right),0\leqslant t\leqslant 1,1\leqslant x\leqslant 2\right\}$ 是平面直角坐标系中的点集．设 $d$ 是 $M$ 中两点间距离的最大值，$S$ 是 $M$ 表示的图形的面积，则（ ）
A．$d=3$，$S<1$
B．$d=3$，$S>1$
C．$d=\sqrt{10}$，$S<1$
D．$d=\sqrt{10}$，$S>1$
