有很多同学曾经问过我这个问题：“我要怎样才能学好数学？”当然，这个问题过于宽泛，无法回答，因此一般我会反问：“你认为怎么样才算学好数学？”同学们对这个问题的回答有很多种，但最多的回答是：“考试的题目都会做．”那么可以这样认为，大部分同学迫切需要提高数学方面的解题能力，今天我就来谈谈怎样才能提高自己的解题能力．
概率与人们的生活息息相关，有时让我们既入迷又迷惑不解．很多概率问题的结果与我们的直观感受很有出入，比如下面这个问题你直观上感觉有多少？
某种疾病的人群总发病率是\(5\%\)，对这种疾病进行机器检测，检测的正确率是\(90\%\)，问一个人被诊断患有这种疫病的情况下，确实患有这种疾病的概率是多少？
2013年全国高中数学联赛四川省预赛第10题：
关于曲线\(C:x^4+y^2=1\)的下列命题：
① 曲线\(C\)关于原点对称；
② 曲线\(C\)关于直线\(y=x\)对称；
③ 曲线\(C\)所围成的面积小于\(\pi\)；
④ 曲线\(C\)所围成的面积大于\(\pi\)．
其中的真命题是_______．（写出所有真命题的编号）
2013年全国高中数学联赛四川省预赛第5题：
当平面上的点\((x,y)\)的坐标\(x\)、\(y\)都为有理数时，该点称为有理点，设\(r\)是给定的正实数，则圆\((x-1)^2+\left(y-\sqrt 2\right)^2=r^2\)上的有理点（ ）
A．最多有一个
B．最多有两个
C．最多有四个
D．可以有无穷多个
已知函数\(f(x)=ax-{\rm e}^x\)，若存在实数\(x\)，使得\(f(x)\geqslant 0\)，求\(a\)的取值范围．
已知偶函数\(f(x)\)满足\(f(x+2)=\dfrac{1}{f(x)}\)，且当\(x\in [1,2)\)时，\(f(x)=x-2\)，则\(f(6.5)=\)_______．
在我看来，数学能力由相辅相成的两部分组成：偏感性的直觉、观察能力、创造思维、发散思维；偏理性的验证、运算能力、逻辑思维、聚焦思维．今天再带来一道同时融合代数运算与几何观察的试题．
如图，已知半径为\(1\)的半圆\(O\)以及圆外一点\(A\)，\(OA=2\)．点\(B\)为圆\(O\)上任意一点，以\(AB\)为底向外作正三角形\(ABC\)．
（1）求四边形\(OACB\)面积的最大值；
（2）求线段\(OC\)长度的最大值．
计数问题有时需要分类讨论，分类讨论时看清本质，再选择合适的讨论标准，减少讨论的分类，是讨论时需要记在心里默念的原则．2014年高考广东理科数学第8题（选择压轴题）：
设集合\(A=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)|x_i\in\{-1,0,1\},i=1,2,3,4,5\right\}\)，那么集合\(A\)中满足条件“\(1\leqslant |x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|+|x_5|\leqslant 3\)”的元素个数为（ ）
A．$60$
B．$90$
C．$120$
D．$130$
有时候，我们需要处理三元的代数式最值问题．初学者往往因为被三个未知数迷惑而觉得无从下手．事实上，此时只需要冻结其中部分变量（暂时将其视为常数），问题就转化为单变元或二元情形，进而可以依托函数最值或二元 均值不等式处理了．虽然很多三元的代数式最值问题可以运用三元的均值不等式处理，但是熟练掌握此技巧正是代数变形的基本功，需要牢牢掌握．
设\(a>b>c>0\)，则\(2a^2+\dfrac 1{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2\)的最小值是（ ）
A．\(2\)
B．\(4\)
C．\(2\sqrt 5\)
D．\(5\)
函数不等式相关的问题解决思路通常是“通过函数的单调性将函数不等式转化成自变量相关的不等式”，但有时函数的单调区间比较复杂，直接用单调性无法解决问题，这时往往就需要借助函数的图象寻找突破口了．
2013年天津高考理科第8题（选择压轴题）：
已知函数\(f(x)=x(1+a|x|)\)，设关于\(x\)的不等式\(f(x+a)<f(x)\)的解集为\(M\)，若\(\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]\subseteq M\)，则实数\(a\)的取值范围是____．
