已知函数\(f(x)=a{\mathrm e}^{x-1}-1\)，\(x\in\mathcal R\)．若方程\(f(x)+|x-a|=0\)有且仅有两个不相等的实根，则实数\(a\)的取值范围为________．
每日一题[114]极值点偏移不等式的几种常见处理方法
已知函数\(f(x)=a-\dfrac{1}{x}-\ln x\)，其中\(a\in\mathcal R\)．
（1）若\(a=2\)，求\(f(x)\)在\(\left(1,{\mathrm e}^2\right)\)上零点的个数；
（2）若\(f(x)\)恰有一个零点，求\(a\)的取值集合；
（3）若\(f(x)\)有两个零点\(x_1,x_2\)，且\(x_1<x_2\)，求证：\(2<x_1+x_2<3{\mathrm e}^{a-1}-1\)． 继续阅读
存在性命题的证明
今天要吐槽的是2015年北京市东城区高三二模数学理科的第18题：
已知函数\(f(x)=x+a\cdot {\mathrm e}^{-x}\)．
（1）当\(a={\mathrm e}^2\)时，求函数\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上的最小值；
（2）求证：存在实数\(x_0\in [-3,3]\)，有\(f(x_0)>a\)．
每日一题[113] 平面向量的“积化和差”
如图，已知正方形\(ABCD\)的边长为\(2\)，点\(E\)为\(AB\)的中点．以\(A\)为圆心，\(AE\)为半径，作弧交\(AD\)于点\(F\)．若\(P\)为劣弧\(EF\)上的动点，则\(\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}\)的最小值为_______．
证明数列收敛
已知数列\(\left\{x_n\right\}\)满足\(\lim\limits_{n\to \infty}\left(x_n-x_{n-2}\right)=0\)，求证：\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_n-x_{n-1}}{n}=0\)．
证明：设\(y_n=x_n-x_{n-1}\)，\(n\in \mathcal N^*\)，则原问题转化为已知\(\lim\limits_{n\to \infty}\left(y_n+y_{n-1}\right)=0\)，求证：\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{y_n}{n}=0\)．
根据已知，有\(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists N(\varepsilon)\in\mathcal N^*\)，使得当\(n>N\)时，均有\[\left|y_n+y_{n-1}\right|<\dfrac 12\varepsilon,\]此时有\[y_n=\left(y_n+y_{n-1}\right)+(-1)\left(y_{n-1}+y_{n-2}\right)+(-1)^2\left(y_{n-2}+y_{n-3}\right)+\cdots+(-1)^{n-N-1}\left(y_{N+1}+y_{N}\right)+(-1)^{n-N}y_N,\]从而\[\left|y_n\right|\leqslant \dfrac 12(n-N)\varepsilon+\left|y_N\right|,\]从而\[\dfrac{\left|y_n\right|}{n}\leqslant \dfrac 12\varepsilon -\dfrac{N}{2n}\varepsilon+\dfrac{\left|y_N\right|}{n}<\dfrac 12\varepsilon +\dfrac{\left|y_N\right|}{n},\]此时只需要取\(N_0=\max\left\{N(\varepsilon,\left[\dfrac{2\left|y_N\right|}{\varepsilon}\right]+1\right\}\)即可使得\[\dfrac{\left|y_n\right|}{n}<\varepsilon,\]因此\[\lim_{n\to\infty}\dfrac{\left|y_n\right|}{n}=0,\]进而原命题得证．
每日一题[112]算两次与几何解释
今天的题目是2015年北京市西城区高三二模数学理科的压轴题：
无穷数列\(P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,\)满足\(a_i\in\mathcal N^*\)，且\(a_i\leqslant a_{i+1}\)（\(i\in\mathcal N^*\)）．对于数列\(P\)，记\(T_k(P)\)（\(k\in\mathcal N^*\)）表示集合\(\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}\)中最小的数．
（1）若数列\(P:1,3,4,7,\cdots\)，写出\(T_1(P),T_2(P),\cdots,T_5(P)\)；
（2）若\(T_k(P)=2k-1\)，求数列\(P\)前\(n\)项的和；
（3）已知\(a_{20}=46\)，求\(\sum\limits_{i=1}^{20}{a_i}+\sum\limits_{j=1}^{46}{T_j(P)}\)的值．
每日一题[111] 最大张角
已知非零向量\(\overrightarrow a\)和\(\overrightarrow b\)互相垂直，则\(\overrightarrow a+ \overrightarrow b\)和\(\overrightarrow a+2\overrightarrow b\)的夹角余弦值的最小值为_______．
每日一题[110] 消元
已知\(x,y\in \mathcal R\)，\(\theta\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)\)，且满足\[\begin{cases}\dfrac{\sin\theta}{x}=\dfrac{\cos\theta}{y}\\\dfrac{\cos^2\theta}{x^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{y^2}=\dfrac{10}{3\left(x^2+y^2\right)}\end{cases}\]求\(\dfrac{x}{y}\)的值．
每日一题[109] 举重若轻
已知函数\[f(x)=1+x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4+\cdots-\dfrac{x^{2014}}{2014}+\dfrac{x^{2015}}{2015},\]若函数\(f(x)\)的零点都在区间\([a,b]\)（其中\(a<b\)且\(a,b\in\mathcal Z\)）内，则\(b-a\)的最小值为_______．