2024年广东四校高三年级第一次联考#13
已知函数 $f(x)=\mathrm e^{2 x-1}-\mathrm e^{1-2 x}+\sin\left(\dfrac{\pi}2 x-\dfrac{\pi}4\right)+1$，则不等式 $f(2 x+1)+f(2-x)\geqslant 2$ 的解集为_______．
2024年广东四校高三年级第一次联考#11
平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲线 $C$ 是到两定点 $F_1(-\sqrt 2,0),F_2(\sqrt 2,0)$ 的距离之积为常数 $2$ 的点的轨迹，设 $P(m,n)$ 是曲线 $C$ 上的点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．曲线 $C$ 关于原点 $O$ 成中心对称
B．$-1\leqslant n\leqslant 1$
C．$\triangle PF_1 F_2$ 的面积不超过 $1$
D．$\triangle PF_1 F_2$ 周长的最小值为 $4\sqrt 2$
2024年广东四校高三年级第一次联考#10
设函数 $f(x)=(x-1)^2(x-4)$，则（ ）
A．$x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点
B．$f(2+x)+f(2-x)=-4$
C．不等式 $-4<f(2 x-1)<0$ 的解集为 $\{x\mid 1<x<2\}$
D．当 $0<x<\dfrac{\pi}2$ 时，$f(\sin x)>f\left(\sin^2 x\right)$
2024年广东四校高三年级第一次联考#8
圆锥顶点 $A$，底面半径为 $1$，母线 $AB=4$，$AB$ 的中点为 $M$，一只蚂蚁从底面圆周上的点 $B$ 绕圆锥侧面一周到达 $M$ 的最短路线中，其中下坡路的长是（ ）
A．$0$
B．$\dfrac{2\sqrt 5}5$
C．$\dfrac{4\sqrt 5}5$
D．$\sqrt 5$
2024年广东四校高三年级第一次联考#6
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_{2024}=0$ 是 $S_n=S_{4047-n}$（$n<4047$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2024年高考上海卷#21
对于一个函数 $f(x)$ 和一个点 $M(a,b)$，令 $s(x)=(x-a)^2+(f(x)-b)^2$，若 $P\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ 是 $s(x)$ 取到最小值的点，则称 $P$ 是 $M$ 在 $f(x)$ 的 "最近点"．
1、对于 $f(x)=\dfrac 1 x$，$x\in (0,+\infty)$，求证：对于点 $M(0,0)$，存在点 $P$，使得 $P$ 是 $M$ 在 $f(x)$ 的"最近点"；
2、对于 $f(x)=\mathrm e^x$，$D=\mathbb R$，$M(1,0)$，请判断是否存在一个点 $P$，它是 $M$ 在 $f(x)$ 最近点，且直线 $MP$ 与 $f(x)$ 在点 $P$ 处的切线垂直；
3、设 $f(x)$ 存在导函数，且 $g(x)$ 在定义域 $\mathbb R$ 上恒正，设点 $M_1(t-1,f(t)-g(t))$，$M_2(t+1,f(t)+g(t))$．若对任意的 $t\in\mathbb R$，都存在点 $P$，满足 $P$ 是 $M_1$ 的最近点，也是 $M_2$ 的最近点，试求 $f(x)$ 的单调性．
2024年高考上海卷#20
已知双曲线 $\Gamma: x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$），$A_1,A_2$ 为左右顶点，过点 $M(-2,0)$ 的直线 $l$ 交双曲线 $\Gamma$ 于两点 $P, Q$，且点 $P$ 在第一象限．
1、若双曲线的离心率 $e=2$，求 $b$．
2、若 $b=\dfrac{2\sqrt 6}3$，$\triangle MA_2 P$ 为等腰三角形，求点 $P$ 的坐标．
3、过点 $Q$ 作 $OQ$ 延长线交 $\Gamma$ 于点 $R$，若 $\overrightarrow{A_1 R}\cdot\overrightarrow{A_2 P}=1$，求 $b$ 的取值范围．
2024年高考上海卷#16
定义集合\[M=\left\{x_0\mid x_0\in \mathbb R,x\in\left(-\infty,x_0\right),f(x)<f\left(x_0\right)\right\},\]在使得 $M=[-1,1]$ 的所有函数 $f(x)$ 中，下列成立的是（ ）
A．存在 $f(x)$ 是偶函数
B．存在 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取最大值
C．存在 $f(x)$ 单调递增
D．存在 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取到极小值
2024年高考上海卷#12
等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1>0$，公比 $q>1$，记集合 $l_n =\left\{x-y\mid x,y\in\left[a_1,a_2\right]\cup\left[a_n,a_{n+1}\right]\right\}$，若对任意正整数 $n$，$l_n$ 都是闭区间，则 $q$ 的范围是_______．
2024年高考天津卷#20
设函数 $f(x)=x\ln x$．
1、求 $f(x)$ 图象上点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；
2、若 $f(x)\geqslant a(x-\sqrt x)$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；
3、若 $x_1,x_2\in(0,1)$，证明：$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\leqslant\left|x_1-x_2\right|^{\frac 1 2}$．
