2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#18
己知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率 $e=\sqrt 2$，$P_1,P_2$ 分别为其两条渐近线上的点，若满足 $\overrightarrow{P_1 P}=\overrightarrow{PP_2}$ 的点 $P$ 在双曲线上，且 $\triangle OP_1 P_2$ 的面积为 $8$，其中 $O$ 为坐标原点．
1、求双曲线 $C$ 的方程．
2、过双曲线 $C$ 的右焦点 $F_2$ 的动直线与双曲线相交于 $A,B$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $M$，使 $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ 为定值？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#15
如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边 $AC=10$，$\angle BAC=\dfrac{\pi}3$， $\angle DAC=\dfrac{\pi}4$，$BD$ 交 $AC$ 于点 $E$． 
1、求 $BD^2$．
2、求 $AE$．
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#13
某班成立了 $A,B$ 两个数学兴趣小组，$A$ 组 $10$ 人，$B$ 组 $30$ 人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，$A$ 组的平均成绩为 $130$ 分，方差为 $115$，$B$ 组的平均成绩为 $110$ 分，方差为 $215$．则在这次测试中全班学生方差为_____．
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#11
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，当 $n\geqslant $ 时，有 $a_n=\begin{cases}a_{n-1},&\dfrac n 4\in\mathbb N^{\ast},\\a_{n-1}+1,&\dfrac n 4\notin\mathbb N^{\ast}.\end{cases}$ $b_m$ 表示 $\left\{a_n\right\}$ 落在区间 $\left[2^m,2^{m+1}\right)$ 的项数，其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$，则（ ）
A．$b_3=10$
B．$\dfrac{3 n}4\leqslant a_n\leqslant\dfrac{3 n+3}4$
C．$\displaystyle\sum_{k=1}^{4 n}a_k=6 n^2+3 n$
D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2 n}b_k=\dfrac 4 3\left(4^n-1\right)$
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#10
已知抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线 $AB$ 交抛物线于 $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$ 两点，$M(3,1)$，则（ ）
A．$x_1+x_2$ 的最小值为 $2$
B．以 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切
C．$|MA|+|AF|$ 的最小值为 $4$
D．$|AF|^2+|BF|^2$ 的最小值为 $2$
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#8
已知 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$ 是圆 $x^2+y^2=2$ 上两点．若 $x_1 x_2+y_1 y_2=-1$，则 $x_1+x_2+y_1+y_2$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$
B．$[-1,1]$
C．$[-\sqrt 2,\sqrt 2]$
D．$[-2,2]$
2024年广东四校高三年级第一次联考#19
已知函数 $f(x)=a\mathrm e^x$，$g(x)=\ln x+b$（$a,b\in\mathbb R$）．
1、当 $b=1$ 时，$f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
2、已知直线 $l_1 , l_2$ 是曲线 $y=g(x)$ 的两条切线，且直线 $l_1 , l_2$ 的斜率之积为 $1$．
① 记 $x_0$ 为直线 $l_1 , l_2$ 交点的横坐标，求证：$x_0<1$；
② 若 $l_1 , l_2$ 也与曲线 $y=f(x)$ 相切，求 $a,b$ 的关系式并求出 $b$ 的取值范围．
2024年广东四校高三年级第一次联考#18
如果 $n$ 项有穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=a_n$，$a_2=a_{n-1}$，$\cdots$，$a_n=a_1$，即 $a_i=a_{n-i+1}$（$i=1,2,\cdots,n$），则称有穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 为"对称数列"．
1、设数列 $\left\{b_n\right\}$ 是项数为 $7$ 的 "对称数列"，其中 $b_1,b_2,b_3,b_4$ 成等差数列，且 $b_2=3$，$b_5=5$，依次写出数列 $\left\{b_n\right\}$ 的每一项；
2、设数列 $\left\{c_n\right\}$ 是项数为 $2 k-1$（$k\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $k\geqslant 2$）的 "对称数列"，且满足 $ \left|c_{n+1}-c_n\right|=2 $，记 $ S_n $ 为数列 $ \left\{c_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和．
① 若 $ c_1,c_2,\cdots,c_k $ 构成单调递增数列，且 $ c_k=2023 $．当 $ k $ 为何值时，$ S_{2 k-1} $ 取得最大值？
② 若 $ c_1=2024 $，且 $ S_{2 k-1}=2024 $，求 $ k$ 的最小值．
2024年广东四校高三年级第一次联考#17
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，且 $C$ 的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 $8\sqrt 3$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、过点 $P(1,0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $Q$．当 $\triangle BPQ$ 的面积取得最大值时，求直线 $l$ 的方程．
2024年广东四校高三年级第一次联考#14
盒子里装有 $5$ 个小球，其中 $2$ 个红球，$3$ 个黑球，从盒子中随机取出 $1$ 个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则： ① 取了 $3$ 次后，取出红球的个数的数学期望为_____； ② 取了 $n$（$n=2,3,4,\cdots$）次后，所有红球刚好全部取出的概率为_____．
