2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #11
已知曲线 $C$ 是到点 $F_1(-a,0)$ 和 $F_2(a, 0)$ 的距离之积为定值 $a^2$ 点的轨迹（称为双纽线），则（ ）
A．若 $a=1$，点 $(\sqrt{2}, 0)$ 在曲线 $C$ 上
B．若 $a=1$，曲线 $C$ 的方程为 $\left(x^2+y^2\right)^2=2 x^2-y^2$
C．若 $a=2$，曲线 $C$ 上点的纵坐标的最大值为 $ 1$
D．若点 $\left(x_0, y_0\right)$ 在 $C$ 上，则 $\left|y_0\right| \leqslant\left|x_0\right|$
2024年5月湖北省武汉市调研试卷#19
混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测，种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用 $x_n$ 来表示系统在第 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态 $x_{n+1}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$，$0<x_1<1$，其中 $f(x)=-a x^2+a x$．
1、当 $a=3$ 时，若满足对 $\forall n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $x_n=f\left(x_{n+1}\right)$，求 $\left\{x_n\right\}$ 的通项公式；
2、证明：当 $a=1$ 时，$\left\{x_n\right\}$ 中不存在连续的三项构成等比数列；
3、若 $x_1=\dfrac 1 2$，$a=1$，记 $S_n=x_n^2 x_{n+1}^2$，证明：$S_1+S_2+\cdots+S_n<\dfrac 1 8$．
2024年5月湖北省武汉市调研试卷#18
某企业生产一种零部件，其质量指标介于 $(49.6,50.4)$ 的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布 $N(50,0.16)$；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布 $N(50,0.04)$． 附：若 $X\sim N\left(\mu,\sigma^2\right)$，取 $P(|X-\mu|<\sigma)=0.6827$，$P(|X-\mu|<2\sigma)=0.9545$．
1、求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；
2、若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是 $p$（$0<p<1$），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．
① 若控制系统原有 $4$ 个元件，讨算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？
② 假设该系统配置有 $n$（$n\geqslant 3$，$n\in\mathbb N$）个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明．
2024年5月湖北省武汉市调研试卷#17
已知双曲线 $E: x^2-y^2=1$，直线 $PQ$ 与双曲线 $E$ 交于 $P,Q$ 两点，直线 $MN$ 与双曲线 $E$ 交于 $M,N$ 两点．
1、若直线 $MN$ 经过坐标原点，且直线 $PM,PN$ 的斜率 $k_{PM},k_{PN}$ 均存在，求 $k_{PM}\cdot k_{PN}$；
2、设直线 $PQ$ 与直线 $MN$ 的交点为 $T(1,2)$，且 $\overrightarrow{TP}\cdot\overrightarrow{TQ}=\overrightarrow{TM}\cdot\overrightarrow{TN}$，证明：直线 $PQ$ 与直线 $MN$ 的斜率之和为 $0$．
2024年5月湖北省武汉市调研试卷#13
已知 $\dfrac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}=\sqrt 3$，则 $\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=$ _____．
2024年5月湖北省武汉市调研试卷#10
在平面直角坐标系 $x Oy$ 中，椭圆 $C:\dfrac{x^2}4+y^2=1$，圆 $O: x^2+y^2=5$，$P$ 为圆 $O$ 上任意一点，$Q$ 为椭圆 $C$ 上任意一点．过 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线 $l_1,l_2$，当 $l_1,l_2$ 与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为 $k_1,k_2$，则（ ）
A．椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$
B．$|PQ|$ 的最小值为 $1$
C．$|PQ|$ 的最大值为 $\sqrt 5+2$
D．$k_1^2+k_2^2\geqslant 3$
2024年5月湖北省武汉市调研试卷#8
在三角形 $ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ 且满足 $c^2-a^2=a b$，$c=2$，则当 $\triangle ABC$ 面积取最大值时，$\cos C=$（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 3-1}2$
B．$\dfrac{\sqrt 3+1}4$
C．$\dfrac{2-\sqrt 2}2$
D．$\dfrac{2+\sqrt 2}4$
2024年5月湖北省武汉市调研试卷#7
抛掷一枚质地均匀的硬币 $n$ 次，记 事件 $A$：$n$ 次中既有正面朝上又有反面朝上； 事件 $B$：$n$ 次中至多有一次正面朝上； 下列说法不正确的是（ ）
A．当 $n=2$ 时，$P(AB)=\dfrac 1 2$
B．当 $n=2$ 时，事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立
C．当 $n=3$ 时，$P(A+B)=\dfrac 7 8$
D．当 $n=3$ 时，事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立
2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#19
某校数学兴趣小组由水平相当的 $n$ 位同学组成，他们的学号依次为 $1,2,3,\cdots,n$．辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为 $\dfrac 1 2$，每个同学的答题过程都是相互独立的，挑战的具体规则如下：
① 挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；
② 挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第 $1$ 号同学开始第 $1$ 轮挑战；
③ 若第 $i$（$i=1,2,3,\cdots,n-1$）号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第 $i$ 轮挑战失败，由第 $i+1$ 号同学继续挑战；
④ 若第 $i$（$i=1,2,3,\cdots,n-1$）号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功，挑战在第 $i$ 轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第 $i$ 轮挑战失败，由第 $i+1$ 号同学继续挑战；
⑤ 若挑战进行到了第 $n$ 轮，则不管第 $n$ 号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战．令随机变量 $X_n$ 表示 $n$ 名挑战者在第 $X_n$（$X_n=1,2,3,\cdots,n$）轮结束．
1、求随机变量 $X_4$ 的分布列．
2、若把挑战规则 ① 去掉，换成规则 ⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答．
令随机变量 $Y_n$ 表示 $n$ 名挑战者在第 $Y_n\left(Y_n=1,2,3,\cdots,n\right)$ 轮结束．求随机变量 $Y_n$（$n\in \mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 2$）的分布列，并证明\[E\left(Y_2\right)<E\left(Y_3\right)<E\left(Y_4\right)<E\left(Y_5\right)<\cdots<E\left(Y_n\right)<\cdots<3.\]
