2013年全国高考数学新课标II卷理科第12题（选择压轴题）：
已知点\(A(-1,0)\)，\(B(1,0)\)，\(C(0,1)\)，直线\(y=ax+b\)（$a>0$）将\(\triangle ABC\)分割为面积相等的两部分，则\(b\)的取值范围是( )
A．\((0,1)\)
B．\(\left(1-\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac 12\right)\)
C．\(\left(1-\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac 13\right]\)
D．\(\left[\dfrac 13,\dfrac 12\right)\) 继续阅读
2015年北京市北大附中高三第一次月考理科数学第20题（压轴题）：
已知数列$\{a_n\}$的项数为$n$，$a_1=a$，$a_n=1$且满足$$a_{i+1}=\begin{cases} \dfrac{a_i}2,& 2\mid a_i,\\a_i-1,&2\nmid a_i,\end{cases} $$其中$i=1,2,\cdots ,n-1$．设$M(a)$表示$a_1$的取值集合，${\rm {card}}\left(M(a)\right) $表示$M(a)$的元素个数．
（1）若$n=4$，求${\rm{card}}\left(M(a)\right) $；
（2）求证：$n\leqslant a_1\leqslant 2^{n-1}$；
（3）若$a_1\leqslant 2015$，求$n$的最大值，并直接写出$n$取最大值时的${\rm {card}}\left( M(a)\right) $． 继续阅读
2014年湖南省十三校联考二模试题（原题为选择题）：
已知$G$是$\triangle ABC$的重心，且$AG\perp BG$，$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{\lambda }{\tan C}$，则实数$\lambda=$_______．
下面这道试题是很多教辅书上都有的经典试题：
如图，已知平行六面体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的底面是菱形且从顶点\(C\)出发的三条棱两两形成的角$\angle C_1CB=\angle C_1CD=\angle BCD=60^\circ$，
（1）证明：$C_1C\perp BD$；
（2）当$\dfrac{CD}{CC_1}$的值为多少时，可使$A_1C\perp C_1BD$？
三射线定理 如图，\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)分别是从\(P\)出发的三条射线，\(\angle APC\)、\(\angle BPC\)、\(\angle APB\)分别为\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\theta\)，二面角\(A-PC-B\)（记其大小为\(\varphi\)）满足：\[\cos\theta=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\cos\varphi.\]
2012年高考上海卷理科数学第14题（填空压轴题）：
如图，\(AD\)与\(BC\)是四面体\(ABCD\)中互相垂直的棱，\(BC=2\)．若\(AD=2c\)，且\(AB+BD=AC+CD=2a\)，其中\(a\)、\(c\)为常数，则四面体\(ABCD\)的体积的最大值是_______．
2015年高考山东卷理科数学第20题（文科数学第21题与之基本相同）：
平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（$a>b>0$）的离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$，左、右焦点分别是$F_1$、$F_2$．以$F_1$为圆心，以$3$为半径的圆与以$F_2$为圆心，$1$为半径的圆相交，且交点在椭圆$C$上．
（1）求椭圆$C$的方程；
（2）设椭圆$E:\dfrac{x^2}{4a^2}+\dfrac{y^2}{4b^2}=1$，$P$为椭圆$C$上任意一点，过点$P$的直线$y=kx+m$交椭圆$E$于$A$、$B$两点，射线$PO$交椭圆$E$于点$Q$．
① 求$\dfrac{|OQ|}{|OP|}$的值；
② 求$\triangle ABQ$面积的最大值．
问题1 已知不等式\(a\leqslant \dfrac 34x^2-3x+4\leqslant b\)的解集恰好是\([a,b]\)，求\(a,b\)的值．
问题2 已知函数\(f(x)=\dfrac 34x^2-3x+4\)的定义域和值域都是\([a,b]\)，求\(a,b\)的值．
双曲线有一个简单优美的结论：
双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值$\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}$．
直接应用点到直线的距离公式即可证明．
2012年北京市朝阳区高三期末理科数学第 8 题（选择压轴题）：
已知集合\[\begin{split}A &= \left\{ \left( {x , y} \right)|x = n , y = na + b , n \in \mathcal Z \right\},\\B &= \left\{ \left( {x , y} \right)|x = m , y = 3{m^2} + 12 , m \in \mathcal Z \right\}.\end{split}\]若存在实数\(a , b\)使得\(A \cap B \neq \varnothing \)成立，称点\(\left( {a , b} \right)\)为“\(\alpha \)”点，则“\(\alpha \)”点在平面区域\(C = \left\{ {\left( {x , y} \right)|{x^2} + {y^2} \leqslant 108} \right\}\)内的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数个
