2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #18
已知集合 $A=\{x\mid x=m+\sqrt 3 n,m\in\mathbb Z,n\in\mathbb Z\}$，集合 $B$ 满足 $B=\left\{x\mid x\in A~\text{且}~\dfrac 1 x\in A\right\}$．
1、判断 $2+\sqrt 3,3-\sqrt 3,0,7+4\sqrt 3$ 中的哪些元素属于 $B$；
2、证明：若 $x\in B$，$y\in B$，则 $x y\in B$；
3、证明：若 $x=m+\sqrt 3 n\in B$，则 $m^2-3 n^2=1$．
2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #16
已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-\dfrac{\ln x}x+\dfrac a x-1$．
1、若在 $(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $-1$，求 $a$；
2、若 $f(x)\geqslant 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #14
在各棱长均相等的正四面体 $PABC$ 中，取棱 $PC$ 上一点 $T$，使 $PT=2 TC$，连接 $TA,TB$，三棱锥 $T-PAB$ 的内切球的球心为 $M$，三棱锥 $T-ABC$ 的内切球的球心为 $N$，则平面 $MAB$ 与平面 $NAB$ 的夹角的正弦值是_____．
2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11
已知曲线 $C:\sin (x+2 y)=2 x-y$，$P\left(x_0,y_0\right)$ 为曲线 $C$ 上任一点，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线 $C$ 与直线 $y=x+1$ 恰有四个公共点
B．曲线 $C$ 与直线 $y=2 x-1$ 相切
C．$y_0$ 是关于 $x_0$ 的函数
D．$x_0$ 是关于 $y_0$ 的函数
2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #8
已知连续型随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(\dfrac 1 2,\dfrac 1 4\right)$，记函数 $f(x)=P(\xi\leqslant x)$，则 $f(x)$ 的图象（ ）
A．关于直线 $x=\dfrac 1 2$ 对称
B．关于直线 $x=\dfrac 1 4$ 对称
C．关于点 $\left(\dfrac 1 2,\dfrac 1 2\right)$ 成中心对称
D．关于点 $\left(\dfrac 1 4,\dfrac 1 4\right)$ 成中心对称
