2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #17
设函数 $f(x)=\left(x-\dfrac{\pi}2\right)\cos x+1$．
1、讨论函数 $f(x)$ 在区间 $[0,\pi]$ 上的单调性；
2、判断并证明函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}2\right]$ 上零点的个数．
2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #16
在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为直角梯形，$AD\parallel BC$，$AB\perp AD$，$PA\perp~\text{平面}~ABCD$，$AP=AD=2 AB=4 BC$．
1、求证：平面 $PAC\perp~\text{平面}~PBD$；
2、$AM\perp~\text{平面}~PCD$ 于点 $M$，求二面角 $M-AD-P$ 的余弦值．
2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #15
在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $\dfrac{1+\sin A}{\cos A}=\dfrac{1+\sin B}{\cos B}$．
1、判断 $\triangle ABC$ 的形状；
2、设 $AB=2$，且 $D$ 是边 $BC$ 的中点，求当 $\angle CAD$ 最大时 $\triangle ABC$ 的面积．
2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #14
已知函数 $f(x)=a^{x-1}-\log_a(x-1)$（其中 $a>0$，且 $a\neq 1$）为其定义域上的单调函数，则实数 $a$ 的取值范围为_____．
2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #11
甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点 $C_1$ 出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径 $C_1\rightarrow B_1\rightarrow A_1\rightarrow A\rightarrow C$．若某"一笔画"路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径．下列说法正确的有（ ）
A．若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能 $6$ 次移动后回到点 $C_1$
B．经过 $4$ 次移动后仍在点 $C_1$ 的概率为 $\dfrac{19}{81}$
C．经过 $5$ 次移动后回到点 $C_1$ 有 $10$ 条完美路径
D．经过 $3$ 次移动后，到达点 $A_1$ 的条件下经过点 $C$ 的概率为 $\dfrac 1 3$
2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #8
在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA=PB=CA=CB=2$，$\angle APB=\angle ACB=\dfrac{\pi}2$，$E,F,G$ 分别为 $PA,PB,PC$ 上靠近点 $P$ 的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥 $P-ABC$ 的四个面均相切，且小球同时还与平面 $EFG$ 相切，则 $PC=$ （ ）
A．$\sqrt 6+\sqrt 2$
B．$\sqrt 6-\sqrt 2$
C．$\sqrt{13}+1$
D．$\sqrt{13}-1$
2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #19
在直角坐标平面 $x Oy$ 内，对于向量 $\boldsymbol{m}=(x, y)$，记 $\|\boldsymbol{m}\|=|x|+|y|$．设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 为直角坐标平面 $x Oy$ 内的向量，$\boldsymbol{a}=(1,1)$．
1、若 $\boldsymbol{b}=(-1,2)$，求 $\|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\|$；
2、设 $\boldsymbol{b}=(-1,-1)$，若 $\|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}\|+\|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\|=4$，求 $|\boldsymbol{c}|$ 的最大值；
3、若 $|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=2$，$\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}=2$，求证：$3-\sqrt{3} \leqslant \| \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\sqrt{3} \boldsymbol{a} \| \leqslant 2 \sqrt{6}+2 \sqrt{3}$．
2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #18
设 $f(x)=a \ln x+\dfrac{1}{x}$．
1、当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的递减区间；
2、求证：函数 $g(x)=f(x)-\dfrac{1}{x}-a \ln (2-x)$ 的图象关于 $(1,0)$ 对称；
3、若当且仅当 $x \in(0,1)$ 时，$f(x)>x$，求实数 $a$ 的取值范围．
2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #14
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x$，$g(x)=\ln x-a x$，若对任意 $x_{1} \in(0,+\infty)$，都存在 $x_{2} \in(0,+\infty)$，使得 $f\left(x_{1}\right) g\left(x_{2}\right)=x_{1} x_{2}$，则实数 $a$ 的取值范围为_____．
2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #13
已知 $f(x)=\sin x$，记函数 $y=f(x)$ 在闭区间 $I$ 上的最大值为 $M_{I}$．若正数 $k$ 满足 $M_{[0, k]}=2 M_{[k, 2 k]}$，则 $k=$_____．
