2025年高考全国I卷19题
设函数 $f(x)=5 \cos x-\cos (5 x)$．
1、求函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值；
2、给定 $\theta \in(0, \pi)$，$a$ 为给定实数，证明：存在 $y \in[a-\theta, a+\theta]$，使得 $\cos y \leqslant \cos \theta$；
3、若存在 $\varphi\in\mathbb R$，使得对任意 $x$，都有 $5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leqslant b$，求 $b$ 的最小值．
已知双曲线 $E: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）与平行于 $x$ 轴的动直线交于 $A, B$ 两点，点 $A$ 在点 $B$ 左侧，$F$ 为双曲线 $E$ 的左焦点，延长 $B F$ 至点 $C$，使 $|A F|=|F C|$，连接 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $D$，若 $|F C|=3|F D|$，则该双曲线的离心率为（ ）
A．$\sqrt{2}$
B．$\sqrt{3}$
C．$2$
D．$3$
设直线 $l$ 交椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 于 $P,Q$ 两点，$O$ 为坐标原点且三角形 ${POQ}$ 的面积为 $\dfrac{a b}2$，$ M$ 为线段 $PQ$ 中点．求证：$P,Q$ 的横坐标平方和与纵坐标平方和均为定值，并求 $|OM|\cdot|PQ|$ 的最大值．
已知 $a\geqslant b\geqslant c>0$，若函数 $f(x)=\ln (2ax^2-bx+c)$ 的值域为 $\mathbb R$，则 $\max\left\{\dfrac a{b+c},\dfrac b{c+a},\dfrac c{a+b}\right\}$ 的最小值为_____．
已知 $n\geqslant 2$，$a_1,a_2,\cdots,a_{n}\geqslant 0$，$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2=S$，则 $M=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(i\cdot a_i)$ 的最大值为_____，最小值为_____（用 $S$ 和 $n$ 表示）．
已知 $a,b,c$ 是外接圆半径为 $R$ 的三角形三边长，则 $m=\dfrac{abc}{a^2+b^2+2c^2}$ 的最大值为_____（用 $R$ 表示）．
已知 $\sin (\alpha+\beta)=m$，$\sin (\alpha-\beta)=n$，则 $\dfrac{\tan\alpha}{\tan\beta}=$ _____．
有下列命题： ① $\exists x\in A,x\in B$； ② $\exists x\in A,x\notin B$； ③ $\forall x\in A,x\in B$； ④ $\forall x\in A,x\notin B$．
$(1)$ 当 $A=\varnothing$ 时，一定是真命题的有_____，一定是假命题的有_____；
$(2)$ 当 $B=\varnothing$ 时，一定是真命题的有_____，一定是假命题的有_____．
已知函数 $f(x)=3\sqrt 5\sin \omega x+3\sqrt{15}\cos\omega x$（$\omega >0$）恰有两个对称中心在区间 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}2\right]$ 上，且 $f\left(\dfrac{\pi}6\right)=f\left(\dfrac{\pi}2\right)$，则 $\omega$ 的所有可能的取值之和是（ ）
A．$6$
B．$\dfrac{21}2$
C．$\dfrac{23}2$
D．$16$
