Math173

已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}= 1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 6}2$，点 $P\left(x_1,y_1\right)$ 是 $C$ 的右支上异于顶点的一点，过 $F_2$ 作 $\angle F_1 PF_2$ 的平分线的垂线，垂足是 $M$，$|MO|=\sqrt 2$，若双曲线 $C$ 上一点 $T$ 满足 $\overrightarrow{F_1 T}\cdot\overrightarrow{F_2 T}=5$，则点 $T$ 到双曲线 $C$ 的两条渐近线距离之和为（       ）

A．$2\sqrt 2$

B．$2\sqrt 3$

C．$2\sqrt 5$

D．$2\sqrt 6$

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已知双曲线 $C: x^2-\dfrac{y^2}{24}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 为双曲线 $C$ 第一象限上一点，$\angle F_1 PF_2$ 的角平分线为 $l$，过点 $O$ 作 $PF_2$ 的平行线，分别与 $PF_1,l$ 交于 $M,N$ 两点，若 $|MN|=\dfrac 2 3\left|PF_2\right|$，则 $\triangle PF_1 F_2$ 的面积为（       ）

A．$20$

B．$12$

C．$24$

D．$10$

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设双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 的直线分别交双曲线的左、右两支于 $M,N$．若以 $MN$ 为直径的圆经过右焦点 $F_2$，且 $\left|MF_2\right|=\left|NF_2\right|$，则双曲线的离心率为（       ）

A．$\sqrt 6$

B．$\sqrt 5$

C．$\sqrt 3$

D．$\sqrt 2$

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已知双曲线 $C=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 作直线分别交双曲线的左、右两支于 $M,N$ 两点，满足 $\overrightarrow{NF_2}=2\overrightarrow{NP}$，且 $\overrightarrow{MP}\cdot\left(\overrightarrow{MF_2}-\overrightarrow{MN}\right)=0$，$\angle F_1 NF_2=\dfrac{\pi}3$，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（       ）

A．$y=\pm\sqrt 6 x$

B．$y=\pm\sqrt 7 x$

C．$y=\pm 2\sqrt 2 x$

D．$y=\pm 3 x$

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已知 $a=\log_{26}78$，$b=1.25^{0.9}$，$c=\log_9 18$，则 $a,b,c$ 的大小关系为（       ）

A．$a>b>c$

B．$a>c>b$

C．$c>b>a$

D．$c>a>b$

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已知三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，$PA=PB=PC$，$\triangle ABC$ 是边长为 $2$ 的正三角形，$E,F$ 分别是 $PA,AB$ 的中点，$\angle CEF=90^\circ$，则球 $O$ 的体积为（       ）

A．$8\sqrt 6\pi$

B．$4\sqrt 6\pi$

C．$2\sqrt 6\pi$

D．$\sqrt 6\pi$

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在各棱长均为 $1$ 的正三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$D,E$ 分别为 $BB_1,B_1 C_1$ 的中点，过 $A,D,E$ 三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为 $V_1$，另一部分的体积为 $V_2$，则 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的值为（       ）

A．$\dfrac{13}{21}$

B．$\dfrac{13}{23}$

C．$\dfrac 3 5$

D．$\dfrac 9{11}$

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圆台的上底面半径为 $1$，下底面半径为 $2$，母线长为 $4$．已知 $P$ 为该圆台某条母线的中点，若一质点从点 $P$ 出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点 $P$，则该质点运动的最短路径长为（       ）

A．$6\sqrt 2$

B．$6$

C．$6\pi$

D．$3\pi$

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如图，已知点 $E$ 是 $ABCD$ 的边 $AB$ 的中点，$F_n$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）为边 $BC$ 上的一列点，连接 $AF_n$ 交 $BD$ 于 $G_n$，点 $G_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）满足 $\overrightarrow{G_n D}=a_{n+1}\cdot\overrightarrow{G_n A}-2\left(2 a_n+3\right)\cdot\overrightarrow{G_n E}$，其中数列 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列，$S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论正确的有[[nn]]

A．$a_3=13$

B．数列 $\left\{a_n+3\right\}$ 是等比数列

C．$a_n=4 n-3$

D．$S_n=2^{n+2}-3 n-4$

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