2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #7
已知某四棱锥的一条侧棱垂直于底面，其底面为平行四边形，且 $8$ 条棱的长度构成的集合为 $\{1,\sqrt 2,\sqrt 3\}$，则满足条件的四棱锥的个数为（ ）
A．$2$
B．$4$
C．$6$
D．$8$
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每日一题[4074]递推与计数
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #19
若共有 $k$（$k\geqslant 2$）项的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足\[\forall i\in\mathbb N^{\ast},2\leqslant i\leqslant k,\left|a_i-a_{i-1}\right|\leqslant 2,\]则称 $\left\{a_n\right\}$ 为保守数列．记 $T_m$ 为 $1,2,\cdots,m$ 随机排列后所能形成的所有保守数列的总个数，$S_m$ 为 $1,2,\cdots,m$ 随机排列后所能形成的所有以 $1$ 为首项的保守数列的总个数．特别地，$S_1=T_1=1$．
1、求 $S_4,T_4$；
2、求 $\left\{S_{n+3}-S_{n+2}-S_n\right\}$ 的通项公式；
3、求 $\left\{T_{n+3}-T_{n+2}-T_n\right\}$ 的通项公式．
每日一题[4073]横看成岭侧成峰
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #18
已知 $a>0$，函数 $f_a(x)=\sin x+\sin (ax)$，当 $a\in\mathbb Q$ 时，$f_a(x)$ 最大值为 $M_a$；当 $a\notin\mathbb Q$ 时，记 $M_a=2$．
1、求 $M_3$；
2、讨论 $f_{\pi}(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{16\pi}{\pi+1}\right)$ 的极值点个数；
3、证明：$M_a\geqslant M_3$．
每日一题[4072]找准角度
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #17
设抛物线 $C: y^2=2 p x$（$p>0$）的焦点为 $F$，准线为 $l: x=-1$，点 $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$（$y_2>y_1\geqslant 0$）在 $C$ 上，直线 $AB$ 与 $l$ 交于点 $M$，且 $A$ 是 $BM$ 的中点．
1、求 $C$ 的方程；
2、求 $\triangle BFM$ 面积的最小值；
3、若 $\angle MFB=\dfrac{2\pi}3$，求点 $A$ 的坐标．
每日一题[4071]四方团圆
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #16
在四边形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=2$，$CD=3$，$DA=4$，$AC,BD$ 交于点 $O$．
1、求 $2\cos\angle DAB-3\cos\angle DCB$ 的值；
2、求四边形 $ABCD$ 面积的最大值；
3、求 $\tan\angle AOB$ 的最大值．
每日一题[4070]拼接切
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #15
如图，在平面中，$AB=AC=AD=AE=EC=2$，$BC=2\sqrt 3$，$AD\perp AB$．将 $\triangle DAB,\triangle EAC,\triangle FBC$ 分别沿 $AB,AC,BC$ 折起，形成三棱锥 $P-ABC$．
1、证明：平面 $PBC\perp~\text{平面}~ABC$；
2、记三棱锥 $P-ABC$ 的外接球球心为 $O$，$PB,PC$ 的中点分别为 $M,N$，过点 $O,M,N$ 的平面与 $AP$ 交于点 $H$．
① 求 $\dfrac{AH}{AP}$；
② 求四棱锥 $P-OMHN$ 的体积．
每日一题[4068]垂心来帮忙
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #13
已知 $\triangle ABC$ 的重心为 $G$，外心为 $O$，$OG\parallel BC$，则 $\tan B\tan C=$ _____．
每日一题[4067]路径规划
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #11
平面直角坐标系 $x Oy$ 中，已知圆 $O_1:(x+2)^2+y^2=1$，圆 $O_2: x^2+y^2=1$，圆 $O_3:(x-2)^2+y^2=1$．集合 $A_d$ 表示当 $O_1,O_2,O_3$ 到直线 $l$ 的距离之和为 $d$ 时，$l$ 与圆 $O_1,O_2,O_3$ 可能的总公共点个数，则（ ）
A．$A_1=\{4,5,6\}$
B．$A_2=\{3,4,5,6\}$
C．$A_3=\{2,3,4\}$
D．$A_4=\{0,1,2,3\}$