已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $P(-2,1)$，且离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$．过点 $P$ 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 $A,B$ 两点（$A,B$ 与点 $P$ 不重合）．求证：直线 $AB$ 过定点，并求该定点的坐标．
每日一题[1595]构造函数
设 $a,b,c$ 是非负实数，满足 $a+b+c =8$，$ab+bc+ca=16$．设 $m=\min \{ab,bc,ca\}$，则 $m$ 的最大值为_______．
每日一题[1594]最大距离
求最大的正整数 $n$，将正整数 $1$ 到 $400$ 任意填入 $20\times 20$ 的 $400$ 个方格中，则总有一行或一列，其中两个数之差不小于 $n$．
每日一题[1593]直径式方程
已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $P\left(\dfrac {\sqrt 6}{2},\dfrac 12 \right)$，离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$，动点 $M(2,t)$（$t>0$）．
1、求椭圆的标准方程．
2、求以 $OM$ 为直径且被直线 $3x-4y-5=0$ 截得的弦长为 $2$ 的圆的方程．
3、设 $F$ 是椭圆的右焦点，过点 $F$ 作 $OM$ 的垂线与以 $OM$ 为直径的圆交于点 $N$，证明线段 $ON$ 的长为定值，并求出这个定值．
每日一题[1592]数学归纳
已知正实数列 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$，$\cdots$ 满足：
① $a_{n+1}=a_1^2a_2^2\cdots a_n^2-3$（$n \in \mathbb N^+$）；
② $\dfrac 12(a_1+\sqrt {a_2-1})\in \mathbb N^+$． 求证：$\dfrac 12(a_1a_2\cdots a_n +\sqrt {a_{n+1}-1})\in \mathbb N^+$．
每日一题[1591]杨不等式
实数 $x,y \in (1,+\infty)$，且 $xy-2x-y+1=0$，求 $\dfrac 32x^2+y^2$ 的最小值．
每日一题[1590]图形分割
在一个边长为 $a$ 的正方形草坪的四个角上都安有喷水装置，喷水装置可以 $90^{\circ}$ 旋转喷水，每个喷水装置都可以从其所在角的一边旋转喷水至该角的另一边，其有效射程均为 $a$，则能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为_______．
每日一题[1589]费马点
已知 $x,y,z \in \mathbb R^+$，且 $x^2+y^2+xy=1$，$y^2+z^2+yz=2$，$z^2+x^2+zx=3$，则 $x+y+z=$ _______．
每日一题[1588]分析截面
在棱长为 $1$ 的正方体 $C$ 内，作一个内切大球 $O_1$，再在 $C$ 内作一个小球 $O_2$，使它与大球 $O_1$ 外切，同时与正方体的三个面都相切，则球 $O_2$ 的表面积为_______．
每日一题[1587]转化参数
已知函数 $f(x)=a\ln x+x^2-ax$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1>3>x_2$，求证：$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<6\ln 2-\dfrac 92$．