过抛物线 $y=x^2$ 上的一点 $A(1,1)$ 作抛物线的切线，分别交 $x$ 轴于 $D$，交 $y$ 轴于 $B$，点 $C$ 在抛物线上，点 $E$ 在线段 $AC$ 上，满足 $\dfrac{AE}{EC}=\lambda_1$，点 $F$ 在线段 $BC$ 上，满足 $\dfrac{BF}{FC}=\lambda_2$，且 $\lambda_1+\lambda_2=1$，线段 $CD$ 与 $EF$ 交于点 $P$，当点 $C$ 在抛物线上移动时，求点 $P$ 的轨迹方程．
每日一题[1740]递推公式
数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac {\pi}{6}$，$a_{n+1}=\arctan (\sec a_n)$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）．求正整数 $m$，使得$$\sin a_1 \cdot \sin a_2 \cdots \sin a_m=\dfrac {1}{100}.$$
每日一题[1739]对称设参
设等边三角形 $ABC$ 的内切圆半径为 $2$，圆心为 $I$．若点 $P$ 满足 $PI=1$，则 $\triangle APB$ 与 $\triangle APC$ 的面积之比的最大值为_______．
每日一题[1738]分而治之
设实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，$abc>0$．求证：\[ab+bc+ca<\dfrac {\sqrt {abc}}{2}+\dfrac 14.\]
每日一题[1737]枚举
随机地将 $1,2,3,4,5,6$ 中这六个数分为 $A,B$ 两组，每组三个数．$A$ 组中最小数为 $a_1$，最大数为 $a_2$；$B$ 组中最小数为 $b_1$，最大数为 $b_2$，记 $X=a_2-a_1$，$Y=b_2-b_1$，则（ ）
A．$E(X)=\dfrac 72$
B．$E(X)=\dfrac 73$
C．$P(X=Y)=\dfrac 25$
D．$P(X=Y)=\dfrac{3}{10}$
每日一题[1736]分组
设正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ 满足 $a_i\geqslant a_{101-i}$（$i=1,2,\cdots,50$）．记 $x_k=\dfrac{ka_{k+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_k}$（$k=1,2,\cdots,99$）．证明：$x_1x_2^2\cdots x_{99}^{99}\leqslant 1$．
每日一题[1735]轮换式分解
设实数 $x,y$ 满足 $x^3+27y^3+9xy=1$，则（ ）
A．$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac 13$
B．$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac{27}{64}$
C．$x^3y$ 的最小值为 $-\dfrac{\sqrt 3}3$
D．$x^3y$ 无最小值
每日一题[1734]递推递归
将一个凸 $2019$ 边形的每条边任意染成红、绿、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各 $673$ 条．证明：可作这个凸 $2019$ 边形的 $2016$ 条在内部互不相交的对角线，将其剖分成 $2017$ 个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、绿、黄三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部线条相同，或者颜色互不相同．
每日一题[1733]消元
设 $a,b,c$ 均大于 $1$，满足\[\begin{cases} \lg a+{\log_b}c=3,\\ \lg b+{\log_a}c=4,\end{cases}\]求 $\lg a\cdot \lg c$ 的最大值．
每日一题[1732]引入参数
设正数 $a,b$ 满足 $ab(a+8b)=20$，则 $a+3b$ 的最小值为（ ）
A．$4$
B．$5$
C．$\sqrt[3]{60}$
D．$\dfrac{4\sqrt[3]{60}}{3}$