每日一题[2288]展开与分解

在 $\triangle A B C$ 中,满足 $a \cdot\cos B+b \cdot\cos C+c\cdot \cos A=b \cdot \cos A+c \cdot \cos B+a \cdot \cos C$,判断 $\triangle A B C$ 的形状.

答案    等腰三角形.

解析    根据余弦定理,有\[\sum_{\rm cyc}\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2c}=\sum_{\rm cyc}\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c}\iff\sum_{\rm cyc}\dfrac{a^2-b^2}{c}=0,\]也即\[\sum_{\rm cyc}ab(a^2-b^2)=0\iff (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)=0,\]因此 $\triangle ABC$ 为等腰三角形.

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