已知函数 $f(x)=\ln x-a\sqrt x$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、存在正实数 $k$ 使得函数 $g(x)=kx-1+f(x)$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围．
已知正整数数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_4=16$，且\[\dfrac1{a_{n+1}^2}<\dfrac1{a_n}+\dfrac1{a_{n+1}}-\dfrac2{n(n+1)}<\dfrac1{a_n^2},\]求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 满足 $\left|\overrightarrow b\right|\cdot \left|\overrightarrow c\right|=1$，$\left|3\overrightarrow a-\overrightarrow b-\overrightarrow c\right|=\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|\cdot \left|\overrightarrow c\right|$，则 $-3\left|\overrightarrow a\right|^2+2\left|\overrightarrow b\right|^2+\left|\overrightarrow c\right|^2$ 的最小值是[[nn]]；此时 $\left|\overrightarrow c\right|=$_______．
三个底面半径为 $50$，高为 $120$ 的圆锥的底面在同一水平面内且两两外切，在它们之间的空间放置一个球体，若球体与三个圆锥的锥顶确定的平面相切，则球体的半径最接近（ ）
A．$38.1$
B．$38.3$
C．$38.5$
D．$38.7$
E．$38.9$
已知函数 $f(x)=\dfrac{x^2}2-x\ln x-(a-1)x+a$．
1、若 $x_1,x_2$ 是 $f(x)$ 的两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围．
2、在第 $(1)$ 小题的条件下，若 $m>f(x_1)+f(x_2)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
求所有的三元有序整数组，使得 $\sqrt{\dfrac{2015}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{2015}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{2015}{z+x}}$ 为正整数．
对于定义在 $[-1,1]$ 上的函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，有下列命题：
① 若 $f(\cos x)=\cos nx$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），当 $n$ 为奇数时，函数 $f(x)$ 是奇函数；
② 若 $f(\cos x)=\cos nx$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），当 $n$ 为偶数时，函数 $f(x)$ 是偶函数；
③ 存在正奇数 $n$ 和奇函数 $g(x)$，满足对任意 $x$，都有 $g(\sin x)=\sin nx$；
④ 存在正偶数 $n$ 和偶函数 $g(x)$，满足对任意 $x$，都有 $g(\sin x)=\sin nx$；
⑤ 存在正整数 $n$，使得 $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为单调函数，其中 $f(\cos x)=\cos nx$，$g(\sin x)=\sin nx$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 其中真命题有_______．
定义：有限非空数集 $\Omega$ 的所有元素的”乘积“称为数集 $\Omega$ 的”积数“，例如：集合 $\Omega=\{1,2,3\}$，其积数为 $1\cdot 2\cdot 3=6$．
1、若有限数集 $A=\{a_1,a_2,a_3\}$，求证：集合 $A$ 的所有非空子集的积数之和\[S_A=(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)-1.\]
2、根据第 $(1)$ 小题的结论，对于有限非空数集 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 2$），记集合 $A$ 的所有非空子集的积数之和为 $S_n$，写出 $S_n$ 的表达式，并利用数学归纳法予以证明．
3、若有限集 $\Omega=\left\{\dfrac 12,\dfrac 13,\dfrac 14,\cdots,\dfrac1{100}\right\}$，求出 $\Omega$ 中所有奇数个元素构成的非空子集的积数之和 $M$ 以及 $\Omega$ 中所有偶数个元素构成的非空子集的积数之和 $N$．
设 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\arcsin x$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．
1、证明：$(1-x^2)f^{(n+1)}(x)-(2n+1)xf^{(n)}(x)-n^2f^{(n-1)}(x)=0$．
2、求 $f^{(n)}(0)$．
已知正数 $x,y>0$，$xy(x+y)=4$，则 $xy$ 的最大值为_______；$2x+y$ 的最小值为_______．
