Math173

假设 $a$ 和 $b$ 为两个正整数，且 $a>b$，证明：辗转相除法的长度\[n\leqslant {\log_{\alpha}}b+1,\]其中 $\alpha=\dfrac{1+\sqrt 5}2$．

已知$\triangle ABC$ 中，$AD,BF,CE$ 相交于点 $G$，$AB=CG$，$\angle AEC=60^\circ$，$\angle CAD=30^\circ$，$BG=3\sqrt 7$，则 $EG=$_______．

已知整数 $n\geqslant 2$，集合 $\{1,2,3,\cdots,2n\}$ 的一个排列 $x_1,x_2,\cdots,x_{2n}$ 中，如果 $|x_i-x_{i+n}|=n$ 对于某个 $i$ 成立，则称这一个排列具有性质 $P$．

1、计算具有性质 $P$ 的排列总数．

2、证明具有性质 $P$ 的排列个数比不具有性质 $P$ 的排列个数多．（可以给出更精确的估计）

设 $n\geqslant 2$，$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb R^+$ 且满足对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，有 $x_ix_j\geqslant i$，求 $x_1x_2\cdots x_n$ 的最小值．

『5789577』设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是单调递增的数列．

1、求证：\[\left(\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}|x_i-x_j|\right)^2\leqslant \dfrac{2(n^2-1)}3\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_i-x_j)^2.\]

2、求证：\[\left(\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}|x_i-x_j|\right)^4\leqslant \dfrac{8(n-1)^3(n+1)(2n^2-3)}{15}\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_i-x_j)^4.\]