设 $S=\{1,2,\cdots,n\}$，$A$ 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在 $S$ 中，且添加 $S$ 的其他元素于 $A$ 后均不能构成与 $A$ 有相同公差的等差数列．求这种 $A$ 的个数（这里只有两项的数列也看作等差数列）．
非空集合 $A,B$ 满足 $A\cup B=\{1,2,3,\cdots,10\}$，$A\cap B=\varnothing $，若 $A$ 中的元素个数不是 $A$ 的元素，$B$ 中的元素个数不是 $B$ 的元素，则满足条件的所有不同的集合 $A$ 的个数为_______．
已知函数 $f(x)=\begin{cases}2+3\ln x,&x\geqslant1,\\x+1,&x<1,\end{cases}$ 若 $m\ne n$，且 $f(m)+f(n)=4$，则 $m+n$ 的最小值是（ ）
A．$2$
B．${\rm e}-1$
C．$4-3\ln3$
D．$3-3\ln2$
四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，对边 $AB,DC$ 延长交于 $P$，$AD,BC$ 延长交于 $Q$，过点 $Q$ 作 $\odot O$ 的两条切线，切点分别为 $E,F$．求证：$P,E,F$ 共线．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=\sqrt{2}$，$a_{2}=2$，$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}^{2}+2^{n+2}}{a_{n}}$，$n \in \mathbb{N}^{*}$，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
已知正整数 $p,q$ 满足 $|2p^2-q^2|=1$，且数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{2} a_{n}+\dfrac{p^2}{q^2a_{n}}$，求证：当 $n\geqslant 2$ 时，$\dfrac{2p}{\sqrt{q^2a_n^2-2p^2}}$ 为正整数．
已知 $p,q\in\mathbb Z$，数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=0$，$a_{n+1}=pa_n+\sqrt{(p^2-1)a_n^2+q^2},n\geqslant 1$ 且 $n\in\mathbb N^\ast$，求证：${a_n}$ 为整数数列．
已知 $a,b$ 为正数，且 $\dfrac 1a+\dfrac 1b=1$，且 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$(a+b)^n-a^n-b^n\geqslant 2^{2n}-2^{n+1}$．
考虑等角六边形 $ABCDEF$，求证：\[AC^2+CE^2+EA^2=BD^2+DF^2+FB^2.\]
