非空集合 $A,B$ 满足 $A\cup B=\{1,2,3,\cdots,10\}$，$A\cap B=\varnothing $，若 $A$ 中的元素个数不是 $A$ 的元素，$B$ 中的元素个数不是 $B$ 的元素，则满足条件的所有不同的集合 $A$ 的个数为_______．
答案 $186$．
解析 考虑更一般的命题，若 $A\cup B=\{1,2,3,\cdots,n\}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），设 $A$ 中有 $k$ 个元素（$ 1\leqslant k\leqslant n-1 $），$ B $ 中有 $ n-k $ 个元素，则 $ k\notin A $，$ n-k\notin B $．
情形一 $ n $ 为偶数． 当 $ k=\dfrac n2 $ 时，不存在符合条件的集合 $ A $；当 $ k\ne \dfrac n2 $ 时，对应的集合 $ A $ 有 $ \dbinom {n-1}{k-1}$ 个，因此所求集合个数为\[\sum_{k=1}^{n-1}\dbinom{n-2}{k-1}-\dbinom{n-2}{\dfrac n2-1}=2^{n-2}-\dbinom{n-2}{\dfrac n2-1}.\]
情形二 $ n $ 为奇数． 对应的集合 $ A $ 有 $ \dbinom {n-2}{k-1}$ 个，因此所求集合个数为\[\sum_{k=1}^{n-1}\dbinom{n-2}{k-1}=2^{n-2}.\]
特别的，当 $n=10$ 时，所求集合个数为 $2^8-\dbinom 84=186$．