每日一题[2297]分道扬镳

非空集合 $A,B$ 满足 $A\cup B=\{1,2,3,\cdots,10\}$,$A\cap B=\varnothing $,若 $A$ 中的元素个数不是 $A$ 的元素,$B$ 中的元素个数不是 $B$ 的元素,则满足条件的所有不同的集合 $A$ 的个数为_______.

答案    $186$.

解析    考虑更一般的命题,若 $A\cup B=\{1,2,3,\cdots,n\}$($n\in\mathbb N^{\ast}$),设 $A$ 中有 $k$ 个元素($ 1\leqslant k\leqslant n-1 $),$ B $ 中有 $ n-k $ 个元素,则 $ k\notin A $,$ n-k\notin B $.

情形一    $ n $ 为偶数. 当 $ k=\dfrac n2 $ 时,不存在符合条件的集合 $ A $;当 $ k\ne \dfrac n2 $ 时,对应的集合 $ A $ 有 $ \dbinom {n-1}{k-1}$ 个,因此所求集合个数为\[\sum_{k=1}^{n-1}\dbinom{n-2}{k-1}-\dbinom{n-2}{\dfrac n2-1}=2^{n-2}-\dbinom{n-2}{\dfrac n2-1}.\]

情形二    $ n $ 为奇数. 对应的集合 $ A $ 有 $ \dbinom {n-2}{k-1}$ 个,因此所求集合个数为\[\sum_{k=1}^{n-1}\dbinom{n-2}{k-1}=2^{n-2}.\]

特别的,当 $n=10$ 时,所求集合个数为 $2^8-\dbinom 84=186$.

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