在三棱锥 $S-ABC$ 中，$\triangle ABC$ 为正三角形，设二面角 $S-AB-C$，$S-BC-A$，$S-CA-B$ 的平面角的大小分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，且 $\alpha,\beta,\gamma\neq\dfrac{\pi}{2}$，则下列结论正确的是（ ）
A．$\dfrac{1}{\tan\alpha}+\dfrac{1}{\tan\beta}+\dfrac{1}{\tan\gamma}$ 的值可能是负数
B．$\alpha+\beta+\gamma<\dfrac{3\pi}{2}$
C．$\alpha+\beta+\gamma>\pi$
D．$\dfrac{1}{\tan\alpha}+\dfrac{1}{\tan\beta}+\dfrac{1}{\tan\gamma}$ 的值恒为正数
已知 $xy+yz+zx=-1$，求证：$x^2+y^2+z^2+x+y+z\geqslant 1-\sqrt 3$．
2021年7月1日，by xixiggg：
记 $s=x+y+z$，则\[x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=s^2+2,\]于是，\[x^2+y^2+z^2+x+y+z=s^2+s+2=\left(s+\dfrac 1 2\right)^2+\dfrac 7 4\geqslant \dfrac 7 4\geqslant 1-\sqrt{3},\]命题得证．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax^2$（$a$ 为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．若 $f(x)$ 有 $3$ 个零点，则 $a$ 的范围为 $\left(\dfrac{{\rm e}^2}4,+\infty\right)$
B．$a=\dfrac{\rm e}2$ 时，$x=1$ 是 $f(x)$ 的极值点
C．$a=\dfrac12$ 时，$f(x)$ 的零点 $x_0$ 满足 $-1<x_0<-\dfrac12$
D．$a=1$ 时，$f(x)\geqslant0$ 恒成立
等腰三角形的周长为 $a$，一腰的中线将周长分成 $5:3$，则三角形的底边长为（ ）
A．$\dfrac{1}{6}a$
B．$\dfrac{3}{5} a$
C．$\dfrac{1}{6}a$ 或 $\dfrac{3}{5} a$
D．$\dfrac{4}{5} a$
已知实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=9$，$ab+bc+ca=24$，则 $c$ 的取值范围为_______．
求方程组 $\begin{cases} x+y+z=3,\\ x^3+y^3+z^3=3,\end{cases}$ 的所有整数解．
设 $E=\{1,2,3,\cdots,200\}$，$G=\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{100}\}\subsetneq E$，且 $G$ 具有下列两条性质：
① 对任何 $1\leqslant i\leqslant j\leqslant 100$，恒有 $a_i+a_j\ne 201$；
② $\displaystyle\sum_{i=1}^{100}a_i=10080$．
试证：$G$ 中的奇数的个数是 $4$ 的倍数，且 $G$ 中所有数的平方和是一个定数．
设 $ a>0$，$b>0 $，（ ）
A．若 $ 2^a+2a=2^b+3b $，则 $ a>b $
B．若 $ 2^a+2a=2^b+3b $，则 $ a<b $
C．若 $ 2^a-2a=2^b-3b $，则 $ a>b $
D．若 $ 2^a-2a=2^b-3b $，则 $ a<b $
设 $a,b,c$ 均为正数，若 $\dfrac{c}{a+b}<\dfrac{a}{b+c}<\dfrac{b}{c+a}$，则 $a,b,c$ 三个数的大小关系是（ ）
A．$c<a<b$
B．$b<c<a$
C．$a<b<c$
D．$c<b<a$
