每日一题[2529]迭代函数

设 $f(x)=\dfrac{1010x+1009}{1009x+1010}$,定义 $f^{(1)}(x)=f(x)$,$f^{(i)}(x)=f\left(f^{(i-1)}(x)\right)$,$i=2,3,\cdots$,则 $f^{(n)}(x)=$ _______.

答案    $\dfrac{(2019^n+1)x+2019^n-1}{(2019^n-1)x+2019^n+1}$.

解析    不动点方程 $f(f(x))=x$ 即\[1009x^2-1009=0,\]解得 $x=\pm 1$,从而所求迭代函数\[\dfrac{f^{(n)}(x)+1}{f^{(n)}(x)-1}=2019^n\cdot \dfrac{x+1}{x-1},\]解得\[f^{(n)}(x)=\dfrac{(2019^n+1)x+2019^n-1}{(2019^n-1)x+2019^n+1}.\]

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