若不等式 $\mathrm{e}^{x}-a \ln (a x-1)+1 \geqslant 0$ 对任意 $x\in\left[\dfrac{1}{2}, 1\right]$ 恒成立（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数），则实数 $a$ 的最大值为（ ）
A．$\mathrm{e}+1$
B．${\rm e}$
C．${\rm e}^{2}+1$
D．$\mathrm{e}^{2}$
某半球形容器如图 $(1)$ 所示，底面圆的半径为 $ 2$．往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图 $(2)$ 所示．小球的半径等于_______；若球 $M$ 与这四个小球、半球面都相切，则球 $M$ 的半径等于_______．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是抛物线 $E: y^{2}=2 p x$（$p>0$）上一点．若点 $M$ 到点 $\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ 的距离、点 $M$ 到 $y$ 轴的距离的等差中项是 $x_{0}+\dfrac{5}{4}$．
1、求抛物线 $E$ 的方程．
2、过点 $A(t, 0)$（$t<0$）作直线 $l$，交以线段 $A O$ 为直径的圆于点 $A, B$，交抛物线 $E$ 于点 $C, D$（点 $B, C$ 在线段 $A D$ 上）．问是否存在 $t$，使点 $B, C$ 恰为线段 $A D$ 的两个三等分点？若存 在，求出 $t$ 的值及直线 $l$ 的斜率；若不存在，请说明理由．
已知函数 $f(x)=x-a \ln x$（$a \in \mathbb{R}$）的导函数为 $f^{\prime}(x)$．
1、若 $a=-1$，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程．
2、若不等式 $a f^{\prime}(x)+x f(x) \leqslant x^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
已知平面向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b, \boldsymbol c$ 均为单位向量，且 $|\boldsymbol a-\boldsymbol b|=1$，则 $(\boldsymbol a-2\boldsymbol b) \cdot(\boldsymbol a-\boldsymbol c)$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$
B．$[-2,2]$
C．$\left[-\sqrt{7}, \sqrt{7}\right]$
D．$[-3,3]$
已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$，渐近线上一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P O} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$（$O$ 为坐标原点），$\angle O P F_{1}=30^{\circ}$，则双曲线 $C$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac{5 \sqrt{2}}{6}$
B．$\dfrac{\sqrt{21}}{3}$
C．$\dfrac{5}{3}$
D．$\dfrac{7}{3}$
在三棱锥 $P-A B C$ 中，$\triangle A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$P A=4$，$P B=P C=2 \sqrt{3}$，以 $A B$ 为直径的球的表面被 $\triangle P A C$ 截得的曲线长度为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt{3}}{6} \pi$
B．$\dfrac{\sqrt{6}}{6} \pi$
C．$\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} \pi$
D．$\dfrac{2 \sqrt{6}}{9} \pi$
已知 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，若 $2 \sin C=c \sin B$，$ a \cos B-c=1$，$\triangle A B C$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则 $a=$ _______．
第 $13$ 届冬残奥会于 $3$ 月 $4$ 日在北京开幕．带着“一起向末来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的 $2$ 名男老师，$2$ 名女老师和 $1$ 名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续 $ 5 $ 天的协助工作，每人服务 $ 1 $ 天，如果 $ 2 $ 名男老师不能安排在相邻的两天，$2 $ 名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（ ）
A．$120$ 种
B．$96$ 种
C．$48$ 种
D．$24$ 种
