Math173

如图，椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，过左焦点 ${F_1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A,A'$ 两点，$\left| {AA'} \right| = 4$．

1、求该椭圆的标准方程．

2、取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P,P'$，过 $P,P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $PQ \perp P'Q$，求圆 $Q$ 的标准方程．

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从 $3$ 名骨科、$4$ 名脑外科和 $5$ 名内科医生中选派 $5$ 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 $1$ 人的选派方法种数是_______．（用数字作答）

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已知点 $A\left(1, - 1\right),B\left(3,0\right),C\left(2,1\right)$．若平面区域 $D$ 由所有满足 $\overrightarrow {AP} = \lambda \overrightarrow {AB} + \mu \overrightarrow {AC}$（$1 \leqslant \lambda \leqslant 2$，$0 \leqslant \mu \leqslant 1$）的点 $P$ 组成，则 $D$ 的面积为______．

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已知 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 ${A_n}$，第 $n$ 项之后各项 ${a_{n + 1}}, {a_{n + 2}} , \cdots $ 的最小值记为 ${B_n}$，${d_n} = {A_n} - {B_n}$．

1、若 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为 $2,1,4,3,2,1,4,3,\cdots$，是一个周期为 $ 4 $ 的数列（即对任意 $n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，${a_{n + 4}} = {a_n}$），写出 $d_1,d_2,d_3,d_4$ 的值．

2、设 $d$ 是非负整数，证明：${d_n} = - d$（$ {n = 1,2,3 \cdots } $）的充分必要条件为 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列．

3、证明：若 ${a_1} = 2$，${d_n} = 1$（$ {n = 1,2,3, \cdots } $），则 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的项只能是 $ 1 $ 或者 $ 2 $，且有无穷多项为 $ 1 $．

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已知 $A,B,C$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 上的三个点，$O$ 为坐标原点．

1、当 $B$ 是 $E$ 的右顶点，且四边形 $OABC$ 为菱形时，求此菱形的面积．

2、当点 $B$ 不是 $E$ 的顶点时，判断四边形 $OABC$ 是否可能是菱形，并说明理由．

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如图，在棱长为 $ 2 $ 的正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，$E$ 为 $BC$ 的中点，点 $P$ 在线段 ${D_1}E$ 上，则点 $P$ 到直线 $C{C_1}$ 的距离的最小值为_______．

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设关于 $x,y$ 的不等式组 $ {\begin{cases} 2x - y + 1 > 0, \\ x + m < 0, \\ y - m > 0 \\ \end{cases}} $ 表示的平面区域内存在点 $P\left( {{x_0},{y_0}} \right)$，满足 ${x_0} - 2{y_0} = 2$，则 $m$ 的取值范围是（       ）

A．$\left( { - \infty ,\dfrac{4}{3}} \right)$

B．$\left( { - \infty ,\dfrac{1}{3}} \right)$

C．$\left( { - \infty , - \dfrac{2}{3}} \right)$

D．$\left( { - \infty , - \dfrac{5}{3}} \right)$

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已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 ${F_1},{F_2}$，离心率为 $3$，直线 $y = 2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt 6 $．

1、求 $a,b$．

2、设过 ${F_2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，且 $\left| {A{F_1}} \right| = \left| {B{F_1}} \right|$，证明：$\left| {A{F_2}} \right|,\left| {AB} \right|,\left| {B{F_2}} \right|$ 成等比数列．

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已知函数 $f\left(x\right) = {x^3} + 3a{x^2} + 3x + 1$．

1、当 $a = - \sqrt 2 $ 时，讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性． 若

2、$x \in \left[ {2, + \infty } \right)$ 时，$f\left(x\right) \geqslant 0$，求 $a$ 的取值范围．

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已知函数 $f\left( x \right) = \cos x\cdot \sin 2x$，下列结论中错误的是（       ）

A．$y = f\left( x \right)$ 的图象关于点 $\left( {{\mathrm \pi} ,0} \right)$ 中心对称

B．$y = f\left( x \right)$ 的图象关于 $x = \dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 对称

C．$f\left( x \right)$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}$

D．$f\left( x \right)$ 既是奇函数，又是周期函数

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