已知 $F_1,F_2$ 是双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}4=1$ 的左、右焦点，点 $A$ 在双曲线右支，$P\left(\sqrt 5,2\right)$ 为一定点，若对任意实数 $m$，直线 $2x+y+m=0$ 与双曲线 $C$ 至多有一个公共点，则 $|AP|+|AF_2|$ 的最小值为_______．
已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a, b>0$）的左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$，过点 $F_{1}$ 且倾斜角为 $\dfrac{\pi}{6}$ 的直线 $l$ 与双曲线的左、右支分别交于 点 $A, B$．且 $\left|A F_{2}\right|=\left|B F_{2}\right|$，则该双曲线的离心率为_______．
在平面四边形 $ABCD$ 中，$AD=1$，$BD=\sqrt 5$，$AB\perp AC$，$AC=2AB$，则 $CD$ 的最小值为（ ）
A．$5$
B．$3\sqrt 3$
C．$\sqrt 5$
D．$3\sqrt 5$
若关于 $x$ 的不等式 $2 \mathrm{e}^{x-2}+(a-2) x+2>2 a+a \ln (x-1)$ 在 $(2,+\infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）
A．$\left[-\dfrac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
B．$(-1,+\infty)$
C．$[-1,+\infty)$
D．$[-2,+\infty)$
已知圆 $C:(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=1$，过 $x$ 轴上一点 $A$ 作直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，若 $\overrightarrow{A M}=2 \overrightarrow{M N}$，则点 $A$ 的横坐标的取值范围为_______．
已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，$P$ 是空间任意一点．
① 若点 $P$ 是正方体表面上的点，则满足 $|AP|=\dfrac12$ 的动点轨迹长是 $\dfrac{3\pi}4$；
② 若点 $P$ 是线段 $AD_1$ 上的点，则异面直线 $BP$ 和 $B_1C$ 所成角的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right]$；
③ 若点 $P$ 是侧面 $BCC_1B_1$ 上的点，$P$ 到直线 $BC$ 的距离与到点 $C_1$ 的距离之和为 $2$，则点 $P$ 的轨迹是椭圆；
④ 过点 $P$ 的平面 $\alpha$ 与正方体每条棱所成角都相等，则平面 $\alpha$ 截正方体所得截面的最大面积是 $3\sqrt 3$．
以上说法正确的有[[nn]]．
设函数 $f(x)=\ln (a-x)-x+{\rm e}$．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、当 $a={\rm e}$ 时，证明：$f({\rm e}-x)<{\rm e}^{x}+\dfrac{x}{2 {\rm e}}$．
已知 $a>0$，函数 $f(x)=2\ln(ax)-x$，若函数 $F(x)=f(f(x))-x$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(\dfrac1{\rm e},+\infty\right)$
B．$\left[\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$
C．$\left({\rm e},+\infty\right)$
D．$\left[{\rm e},+\infty\right)$
已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{1}{3}$，其右焦点为 $F$，左顶点为 $A$，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上异于点 $A$ 的一个动点，且当 $P F \perp x$ 轴时，$\triangle A P F$ 的面积为 $\dfrac{16}{3}$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程．
2、若直线 $A P$ 交直线 $l: x=9$ 于点 $Q$，直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $T$，证明：$\angle P F Q=\angle Q F T$．
已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $f(x+1)$ 是偶函数，当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时 $f(x)=-{\log _{2}}(x+1)$．设 $g(x)=|f(x)|+f(|x|)$，若关于 $x$ 的方程 $g(x)-mx-2=0$ 有 $5$ 个不同的实数解，则实数 $m$ 的取值范围是_______．
