已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{3} a x^{3}$（$a \in \mathbb{R}$），若函数 $f(x)$ 存在唯一的极小值点，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
在如图所示的五面体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，平面 $A D E \perp$ 平面 $A B C D$，$A B=E D=2 E F=2$，$\angle E A D=60^{\circ}$，$M$ 为棱 $F C$ 的中点．
1、证明：$A F\parallel M B D$．
2、求三棱锥 $E-F D B$ 的体积．
已知 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-y^{2}=4$ 上两个不同的点，线段 $A B$ 的中点为 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$，$ O$ 为坐标原 点，则下列判断正确的是（ ）
A．若 $x_{0}=1$，则 $\left|y_{0}\right|>1$
B．若 $y_{0}=0$，则 $x_{0}=0$
C．若 $\angle A O B>\dfrac{\pi}{2}$，则 $\left|x_{0}\right|<2$
D．若 $\angle A O B<\dfrac{\pi}{2}$，则 $\left|x_{0}\right|>2$
如图，在 $\triangle A B C$ 中，已知 $A B=2$，$A C=5$，$\cos \angle B A C=\dfrac{7}{20}$，$B C, A C$ 边上的两条中线 $A M, B N$ 相交于点 $P$，则 $\angle M P N$ 的余弦值为_______．
已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$），若双曲线不存在以点 $M(2 a, a)$ 为中点的弦，则双曲线离心率 $e$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(1, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$
B．$\left[\dfrac{\sqrt{5}}{2}, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$
C．$\left[\dfrac{2 \sqrt{3}}{3},+\infty\right)$
D．$\left[\dfrac{\sqrt{5}}{2},+\infty\right)$
中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，某家庭一家三口计划在假期出游，每人选一个地方，恰有 $1$ 人选泰山的概率为（ ）
A．$\dfrac{48}{125}$
B．$\dfrac{36}{125}$
C．$\dfrac{2}{5}$
D．$\dfrac{3}{10}$
已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$，函数 $f(x)=x^{a}-a^{x}$（$x>0$）．
1、当 $a=2$ 时，设 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$，求 $f^{\prime}(x)$ 的单调区间．
2、若函数 $y=f(x)$ 佮有两个互异的零点 $m, n$（$m>n>0$）．
① 求实数 $a$ 的取值范围；
② 求证：$m n>{\rm e}^{2}$．
已知动点 $P(x, y)$ 到点 $F(1,0)$ 与到直线 $x=-1$ 的距离相等．
1、求点 $P$ 的轨迹 $L$ 的方程．
2、设 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$（$y_{0} \geqslant 0$）在曲线 $L$ 上，过 $M$ 作两条互相垂直的直线分别交曲线 $L$ 异于 $M$ 的两 点 $A, B$，且 $|M A|=|M B|$，记直线 $M A$ 的斜率为 $k$（$k>0$）．
① 试用 $k$ 的代数式表示 $y_{0}$；
② 求 $\triangle M A B$ 面积 $S$ 的最小值．
已知空间向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 两两的夹角均为 $60^{\circ}$，且 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2$，$|\boldsymbol{c}|=6$．若向量 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 分别满足 $\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=0$ 与 $\boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{c}-8=0$，则 $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$ 的最小值是_______．
已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的焦点 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$（$ c>0 $），过右焦点 $ F_{2} $ 的直线 $ l $ 与圆 $ x^{2}+y^{2}=b^{2} $ 相切于点 $ P $，与椭圆相交于 $ A,B $ 两点，点 $ A $ 在 $ x $ 轴上方，且切点 $ P $ 恰为线段 $ A F_{2} $ 的中点，则椭圆的离心率为_______，直线 $ l$ 的斜率为_______．
