已知函数 $f\left(x\right) = {x^2}{{\mathrm{e}}^{ - x}}$.
1、求 $f\left(x\right)$ 的极小值和极大值.
2、当曲线 $y = f\left(x\right)$ 的切线 $l$ 的斜率为负数时,求 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围.
解析
1、本题考查利用导数研究函数极值,通过导函数零点分段讨论即可.
函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{-x(x-2)}{{\rm e}^x},\]于是\[\begin{array}{c|ccccc}\hline x&(-\infty,0)&0&(0,2)&2&(2,+\infty)\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline f(x)&\searrow&0&\nearrow&4{\rm e}^{-2}&\searrow\\ \hline \end{array}\]因此函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值为 $0$,在 $x=2$ 处取得极大值为 $ 4{{\mathrm{e}}^{ - 2}}$.
2、本题考查利用导数研究函数的切线,抓住切点横坐标作为参数列写数量关系是解决问题的关键.
设切点横坐标为 $t$,则切线 $l$ 的斜率为负数即 $t<0$ 或 $t>2$,此时 $l$ 在 $x$ 轴上的截距\[m(t)=t-\dfrac{f(t)}{f'(t)}=t+\dfrac{t^2{\rm e}^{-t}}{-{\rm e}^{-t}t(t-2)}=(t-2)+\dfrac{2}{t-2}+3,\]其中 $t-2$ 的取值范围是 $(-\infty,-2)\cup(0,+\infty)$,因此截距的取值范围是 $\left( - \infty ,0\right) \cup \left[ {2\sqrt 2 + 3, + \infty } \right)$.