已知函数 $f(x)=a \ln x-x$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、设 $0<a<1$，若函数 $g(x)=4 f(x)+\dfrac{x^2}{2 a}-x$ 在 $x \in[1,+\infty)$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} a x^3+x^2$（$a>0$）．
1、求函数 $y=f(x)$ 的极值．
2、若存在实数 $x_0 \in(-1,0)$，且 $x_0 \neq-\dfrac{1}{2}$，使得 $f\left(x_0\right)=f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=x {\rm e}^x-2 a x+a$，$g(x)=a \ln x-a x+{\rm e}$，$a \in \mathbb{R}$．
1、若 $\varphi(x)=f^{\prime}(x)$，求函数 $\varphi(x)$ 的单调区间，并证明：$\varphi(x) \geqslant-2 a-{\rm e}^{-2}$．
2、若函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2+3 x-a(x+3 \ln x)$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、若函数 $f(x)$ 的极小值为 $3 a-\dfrac{a^2}{2}$，求 $a$ 的值．
2、设函数 $g(x)=x^2+(1-2 a) x-a \ln x$，若函数 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象有两个不同的公共点，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=a x+\dfrac{x-1}{x^2}-2 a \ln x$（$x>0$，$a \in\mathbb R$）．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\dfrac{a {\rm e}^x}{x^2}$（$a \neq 0$）．
1、当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、设 $g(x)=f(x)-\dfrac{2}{x}-\ln x$，若 $g(x)$ 在区间 $(0,2)$ 上有两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=x+\dfrac{1}{{\rm e}^x}$．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若直线 $y=k x$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点，求实数 $k$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x^3+a x^2+4 x+b$，其中 $a, b \in\mathbb R$ 且 $a \neq 0$．
1、求证：函数 $f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线与 $f(x)$ 总有两个不同的公共点．
2、若函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上有且仅有一个极值点，求实数 $a$ 的取值范围．
已知 $a \in \mathbb R$，函数 $f(x)={\rm e}^x+a x^2$，$g(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数．
1、当 $a=-\dfrac{{\rm e}}{2}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、当 $a>0$ 时，求证：存在唯一的 $x_0 \in\left(-\dfrac{1}{2 a}, 0\right)$，使得 $g\left(x_0\right)=0$．
3、若实数 $a, b$ 使得 $f(x) \geqslant b$ 恒成立，求 $a-b$ 的最小值．
已知函数 $f(x)={\rm e}^{2 x}-a {\rm e}^x-a^2 x$，$a \in \mathbb R$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、讨论函数 $f(x)$ 的零点的个数．
