2025年10月深圳中学高三阶段数学考试（1） #8
若函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)$ 的图象关于直线 $x=3$ 对称，则 $f(x)$ 最大值为（ ）
A．$16$
B．$10+8 \sqrt{ 10}$
C．$36$
D．$19+6 \sqrt{ 10}$
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每日一题[3975]三月女神
2025年10月深圳中学高三阶段数学考试（1）#11
定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在 $\triangle A B C$ 中，$B C=1$，$B C$ 边上的高等于 $\tan A$，以 $\triangle A B C$ 的各边为直径向 $\triangle A B C$ 外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为 $W$，其“直径”为 $d$，则（ ）
A．$A B^{2}+A C^{2}=3$
B．$\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 5}{4}$
C．当 $\angle A B C=\dfrac{\pi}{2}$ 时，$d=\dfrac{\sqrt 6+1}2$
D．$d$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt{6}+1}{2}$
每日一题[3974]变异合并
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 2$，在 $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \cdots, \dfrac{1}{n+1}$ 共 $n$ 个数中，每次任意去掉 $2 $ 个数 $a$ 和 $b$，再写上数字 $a+b+a b$，则最终剩下的一个数是_____．
每日一题[3973]合分比定理
已知 $ab\ne 0$，且 $\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}=\dfrac{a+b}{1+a+b}$，则 $a+b=$ _____．
每日一题[3972]解方程组
已知 $a,b,c,d\in \mathbb R$，且\[a+bcd=b+cda=c+dab=d+abc=2,\]则方程组的实数解 $(a,b,c,d)$ 的个数为（ ）
A．$1$
B．$5$
C．$9$
D．以上答案都不对
每日一题[3970]曲线系与共圆
双曲线 $C: \dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的焦距为 $2 \sqrt{7}$，点 $A(0,-2)$ 在 $C$ 上，直线 $l: y=\dfrac{6}{7}$ 交 $y$ 轴于点 $P$，过 $P$ 作直线 $G H$ 交 $C$ 于 $G, H$ 两点，且 $G H$ 的斜率存在，直线 $A G,A H$ 交 $l$ 分别于 $M, N$ 两点．
1、求 $C$ 的方程；
2、求 $A G$ 与 $A H$ 的斜率之积；
3、证明：$A, O, M, N$ 共圆．
每日一题[3969]裂项与求和
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $a_1=1$，$\dfrac{S_{n-1}}{a_n}-\dfrac{S_{n-1}}{a_{n-1}}+\dfrac{1}{2}=0$（$n \geqslant 2$）．
1、求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
2、当 $n \geqslant 3$ 时，已知 $f(x)=\left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \cdots\left(x-a_n\right)$ 的导函数为\[f^{\prime}(x)=n\left(x-b_1\right)\left(x-b_2\right) \cdots\left(x-b_{n-1}\right),\]其中 $b_1 \leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_{n-1}$．设 $2 \leqslant j \leqslant n-1$，且 $j\in\mathbb N^{\ast}$．
① 若 $u_j=b_j-j$，$v_j=j-b_{j-1}$，定义\[F(u, v)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{u v}{(j-i+u)(j-i-v)},\]求证：$F\left(u_j, v_j\right)=0$；
② 求证：$b_j-b_{j-1}>1$．
每日一题[3968]调和线束
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点为 $A(2,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M,N$，过点 $M$ 作斜率为 $1$ 的直线 $x=t$ 于点 $P$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、设直线 $P N$ 的斜率为 $k_1$，直线 $P A$ 的斜率为 $k_2$，是否存在实数 $t$，使得 $4 k_2-3 k_1$ 为定值？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由．