Math173

2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #10

已知 $O$ 是坐标原点，对任意 $\lambda>1$，函数 $f(x)$ 的图象上总存在不同两点 $A,B$，使得 $\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}$，则下列选项中满足条件的 $f(x)$ 有（       ）

A．$f(x)=\mathrm e^x$

B．$f(x)=\dfrac{x-1}{x-2}$

C．$f(x)=\sin x$

D．$f(x)=(x-1)^2$

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2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #8

定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $1<f^{\prime}(x)<2$，$f(-10)=0$，$f(50)>100$，则下列不等式一定成立的是（       ）

A．$f(0)>15$

B．$f(10)<30$

C．$f(30)>60$

D．$f(40)<90$

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2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #19

如图，椭圆 $\Gamma_1:\dfrac{x^2}m+\dfrac{y^2}n=1$（$m>n>0$），$\Gamma_2:\dfrac{x^2}n+\dfrac{y^2}m=1$，已知 $\Gamma_1$ 右顶点为 $H(2,0)$，且它们的交点分别为 $P_1(1,1),P_2(-1,1),P_3(-1,-1),P_4(1,-1)$．

1、求 $\Gamma_1$ 与 $\Gamma_2$ 的标准方程；

2、过点 $P_1$ 作直线 $MN$，交 $\Gamma_1$ 于点 $M$，交 $\Gamma_2$ 于点 $N$，设直线 $P_3 M$ 的斜率为 $k_1$，直线 $P_3 N$ 的斜率为 $k_2$，求 $\dfrac{k_2}{k_1}$；（上述各点均不重合）

3、点 $Q_1$ 是 $\Gamma_1$ 上的动点，直线 $Q_1 P_1$ 交 $\Gamma_2$ 于点 $Q_2$，直线 $Q_2 P_2$ 交 $\Gamma_1$ 于点 $Q_3$，直线 $Q_3 P_3$ 交 $\Gamma_2$ 于点 $Q_4$，直线 $Q_4 P_4$ 与直线 $Q_1 P_1$ 交于点 $N$，求点 $G$ 坐标，使直线 $NG$ 与直线 $NH$ 的斜率之积为定值．（上述各点均不重合）

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2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #16

已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-\dfrac{\ln x}x+\dfrac a x-1$．

1、若在 $(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $-1$，求 $a$；

2、若 $f(x)\geqslant 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #14

在各棱长均相等的正四面体 $PABC$ 中，取棱 $PC$ 上一点 $T$，使 $PT=2 TC$，连接 $TA,TB$，三棱锥 $T-PAB$ 的内切球的球心为 $M$，三棱锥 $T-ABC$ 的内切球的球心为 $N$，则平面 $MAB$ 与平面 $NAB$ 的夹角的正弦值是_____．

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2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11

已知曲线 $C:\sin (x+2 y)=2 x-y$，$P\left(x_0,y_0\right)$ 为曲线 $C$ 上任一点，则下列说法中正确的有（       ）

A．曲线 $C$ 与直线 $y=x+1$ 恰有四个公共点

B．曲线 $C$ 与直线 $y=2 x-1$ 相切

C．$y_0$ 是关于 $x_0$ 的函数

D．$x_0$ 是关于 $y_0$ 的函数

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2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #8

已知连续型随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(\dfrac 1 2,\dfrac 1 4\right)$，记函数 $f(x)=P(\xi\leqslant x)$，则 $f(x)$ 的图象（       ）

A．关于直线 $x=\dfrac 1 2$ 对称

B．关于直线 $x=\dfrac 1 4$ 对称

C．关于点 $\left(\dfrac 1 2,\dfrac 1 2\right)$ 成中心对称

D．关于点 $\left(\dfrac 1 4,\dfrac 1 4\right)$ 成中心对称

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