2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #8
定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $1<f^{\prime}(x)<2$，$f(-10)=0$，$f(50)>100$，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．$f(0)>15$
B．$f(10)<30$
C．$f(30)>60$
D．$f(40)<90$
答案 C．
解析 考虑从 $f(x)$ 的函数值从 $m$ 到 $n$（$m<n$）的变化，有\[f(m)+(n-m)<f(n)<f(m)+2(n-m),\]分别取 $(m,n)=(-10,x),(x,50)$，可得当 $x\in (-10,50)$ 时，有\[\begin{cases} x+10<f(x)<2(x+10),\\ f(x)+(50-x)<f(50)<f(x)+2(50-x),\end{cases}\]即\[\begin{cases} x+10<f(x)<2(x+10),\\ 2x+f(50)-100<f(x)<x+f(50)-50,\end{cases} \]因此能确认的事实是\[f(0)>10,\quad f(10)<40,\quad f(30)>60,\quad f(40)<100,\]只有选项 $\boxed{C}$ 正确．