已知函数 $f(x)=(x-2) \mathrm{e}^x+a(x-1)^2$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=(x-1)\left({\rm e}^{x}+2a\right),\]于是讨论分界点为 ${\rm e}+2a=0$ 以及 $a=0$．
情形一 $a<-\dfrac{\rm e}2$．此时 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,\ln(-2a))$ 上单调递减，在 $(\ln(-2a),+\infty)$ 上单调递增．
情形二 $a=-\dfrac{\rm e}2$．此时 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．
情形三 $-\dfrac{\rm e}2<a<0$．此时 $f(x)$ 在 $(-\infty,\ln(-2a))$ 上单调递增，在 $(\ln(-2a),1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．
情形四 $a\geqslant 0$．此时 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．
2、根据题意，有 $f(1)=-{\rm e}$． 当 $a\geqslant 0$ 时，由于\[\begin{array}{c|ccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline f(x)&+\infty&\searrow&-{\rm e}&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}\] 因此 $f(x)$ 有两个零点，符合题意． 当 $a<0$ 时，若 $f(x)$ 有两个零点，则 $x=1$ 为极小值点，且极大值\[f(\ln(-2a))=0\iff a\left(\ln^2(-2a)-4\ln(-2a)+5\right)=0,\]其中 $-\dfrac{\rm e}2<a<0$．上述方程无解． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$．