2025年1月湖北省武汉市高三数学调研考试 #14
在 $\triangle ABC$ 中，$BC=8$，点 $D$ 是 $BC$ 上的点 $,AD$ 平分 $\angle BAC$，$\triangle ABD$ 面积是 $\triangle ADC$ 面积的 $3$ 倍，当 $\triangle ABC$ 的面积最大时，$\sin\angle BAC=$ _____．
2025年1月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11
数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线 $E: x^2+(y-|x|)^2=1$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C,D$ 两点，点 $P$ 是 $E$ 上一个动点，则（ ）
A．点 $(1,2)$ 在 $E$ 上
B．$\triangle PAB$ 面积的最大值为 $1$
C．曲线 $E$ 恰好经过 $3$ 个整点（即横，纵坐标均为整数的点）
D．$|PC|+|PD|\leqslant 2\sqrt 3$
2025年1月湖北省武汉市高三数学调研考试 #8
设函数 $f(x)=\left(\mathrm e^x-m\right)\ln (x+n)$，若 $f(x)\geqslant 0$，则 $m+n$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac 1 4$
B．$\dfrac 1 2$
C．$1$
D．$2$
2025年1月湖北省武汉市高三数学调研考试 #7
设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，过点 $P$ 作 $C$ 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 $D,E$，若 $\angle F_1 PF_2=120^{\circ}$，且 $\triangle PF_1 F_2$ 的面积为 $\sqrt 3|PD|\cdot |PE|$，则双曲线两条渐近线的斜率为（ ）
A．$\pm\dfrac{\sqrt 3}3$
B．$\pm 1$
C．$\pm\sqrt 2$
D．$\pm\sqrt 3$
2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #19
已知函数 $f(x)=x\mathrm e^{x-1}-a$．
1、若 $a\in\mathbb R$，讨论 $f(x)$ 的零点的个数；
2、若 $a$ 为正整数 $n$，记此时 $f(x)$ 的唯一零点为 $x_n$，证明：
① 数列 $\left\{x_n\right\}$ 是递增数列；
② $2(\sqrt{n+1}-1)<\dfrac 1{x_1}+\dfrac 1{x_2}+\cdots+\dfrac 1{x_n}\leqslant\dfrac 1 2(n+1+\ln n)$．
2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #18
有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为 $1,2,3$ 的 $3$ 个白球，乙口袋中有编号为 $1,2,3$ 的 $3$ 个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同．现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）次这样的操作．
1、求 $2$ 次换球后，甲口袋中恰有 $3$ 个白球的概率；
2、求 $n$ 次换球后，甲口袋中 $3$ 个球颜色恰好相同的概率（结果用含 $n$ 的式子表示）；
3、求 $n$ 次换球后，甲口袋中 $3$ 个球编号恰好为 $1,2,3$ 的概率（结果用含 $n$ 的式子表示）．当 $n$ 为多少时，概率取得最大值？最大值是多少？
2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #17
建立如图所示的坐标系．矩形 $ABCD$ 中，$|AB|=4$，$|BC|=2\sqrt 3$．$E,F,G,H$ 分别是矩形四条边的中点，直线 $HF,BC$ 上的动点 $R,S$ 满足 $\overrightarrow{OR}=\lambda\overrightarrow{OF}$，$\overrightarrow{CS}=\lambda\overrightarrow{CF}$（$\lambda\in \mathbb R$），直线 $ER$ 与 $GS$ 的交点为 $P$．
1、证明点 $P$ 在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程；
2、当 $\lambda=\dfrac 1 2$ 时，过点 $R$ 的直线 $l$（与 $x$ 轴不重合）与 $(1)$ 中的椭圆交于 $M,N$ 两点，过点 $N$ 作直线 $x=4$ 的垂线，垂足为点 $Q$．设直线 $MQ$ 与 $x$ 轴交于点 $K$，求 $\triangle KMR$ 面积的最大值．
2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #16
如图所示，在平行六面体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为 $3$ 的菱形，$AA_1=4$，$\angle DAB=\angle A_1 AB=\angle A_1 AD=60^{\circ}$，$E,F$ 分别在线段 $B_1 B$ 和 $D_1 D$ 上，且 $BE=\dfrac 1 4 BB_1$，$DF=\dfrac 3 4 DD_1$．
1、证明：$A,E,C_1,F$ 四点共面；
2、求平面 $AEC_1 F$ 与平面 $A_1 ADD_1$ 夹角的余弦值．
2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #14
已知 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $C:\dfrac{x^2}2-\dfrac{y^2}2=1$ 的左、右焦点．过点 $T(-3,0)$ 作直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $M,N$ 两点，直线 $F_1 N$ 与 $F_2 M$ 相交于点 $P$．若 $F_1 M\parallel F_2 N$，则 $\left|PF_2\right|-\left|PF_1\right|=$ _____．
2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11
设正整数 $m=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots+a_{n-1}\cdot 2^{n-1}+a_n\cdot 2^n$，其中 $a_i\in\{0,1\}$（$i=0,1,\cdots,n$），记 $S(m)$ 为上述表示中 $a_i$ 为 $1$ 的个数．例如：$5=1\cdot 2^0+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2$，所以 $S(5)=2$．已知集合 $A=\left\{1,2,3,\cdots,2^n-1\right\}$，下列说法正确的是（ ）
A．$S(20)=2$
B．对任意的 $m\in A$，有 $S(m)+S\left(2^n-m\right)=n$
C．若 $m\in A$，则使 $S(m)=k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$，$1\leqslant k\leqslant n$）成立的 $m$ 的取值个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ n^k$
D．$\displaystyle\sum_{m=1}^{2^n-1}S(m)=n\cdot 2^{n-1}$
