在复平面内，复数 $z_{1}$ 终点在 $1+{\rm i}$ 和 $1+a{\rm i}$ 表示两点连成的线段上移动，$\left|z_{2}\right|=1$，若 $z=z_{1}+z_{2}$ 在复平面上表示的点围成的区域 $\Gamma$ 的面积为 $\pi+4$，则 $a$ 的可能值为（ ）
A．$-3$
B．$-1$
C．$1$
D．$3$
已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，则 $\left|(z-2)(z+1)^{2}\right|$ 的最大值为（ ）
A．$2\sqrt 6$
B．$5$
C．$3\sqrt 3$
D．$2\sqrt 7$
已知 $a, b, c$ 互不相等且\[\frac{a+b}{a-b}=\frac{b+c}{2(b-c)}=\frac{c+a}{3(c-a)}, \]求证：$8 a+9 b+5 c=0$．
" $a \leqslant 0$ "是"函数 $f\left( x \right)= \left| {\left( {ax - 1} \right)x} \right|$ 在区间 $\left( {0, + \infty } \right)$ 内单调递增"的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
如图，互不相同的点 ${A_1},{A_2}, \cdots ,{A_n}, \cdots $ 和 ${B_1},{B_2}, \cdots ,{B_n}, \cdots $ 分别在角 $O$ 的两条边上，所有 ${A_n}{B_n}$ 相互平行，且所有梯形 ${A_n}{B_n}{B_{n + 1}}{A_{n + 1}}$ 的面积均相等．设 $O{A_n} = {a_n}$．若 ${a_1} = 1$，${a_2} = 2$，则数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式是_______．
设函数 $ f\left(x\right) =\begin{cases} \dfrac{1}{a}x,&0 \leqslant x \leqslant a, \\ \dfrac{1}{1 - a}\left(1 - x\right),&a < x \leqslant 1, \\ \end{cases} $ $a$ 为常数且 $a \in \left(0,1\right)$．
1、当 $a = \dfrac{1}{2}$ 时，求 $f\left( {f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)} \right)$．
2、若 ${x_0}$ 满足 $f\left(f\left({x_0}\right)\right) = {x_0}$，但 $f\left({x_0}\right) \ne {x_0}$，则称 ${x_0}$ 为 $f\left(x\right)$ 的二阶周期点，证明：函数 $f\left(x\right)$ 有且仅有两个二阶周期点，并求出二阶周期点 ${x_1},{x_2}$．
3、对于 $(2)$ 中的 ${x_1},{x_2}$，设 $A\left({x_1},f\left(f\left({x_1}\right)\right)\right)$，$B\left({x_2},f\left(f\left({x_2}\right)\right)\right)$，$C\left({a^2},0\right)$，记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S\left(a\right)$，求 $S\left(a\right)$ 在区间 $\left[ {\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}} \right]$ 上的最大值和最小值．
椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率 $e = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$，$a + b = 3$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、如图所示，$A,B,D$ 是椭圆 $C$ 的顶点，$P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，直线 $DP$ 交 $x$ 轴于点 $N$，直线 $AD$ 交 $BP$ 于点 $M$，设 $BP$ 的斜率为 $k$，$MN$ 的斜率为 $m$，证明：$2m - k$ 为定值．
已知函数 $f\left( x \right) = a\left( {1 - 2\left| {x - \dfrac{1}{2}} \right|} \right) $，$a$ 为常数且 $a > 0$．
1、证明：函数 $f\left( x \right)$ 的图象关于直线 $x = \dfrac{1}{2}$ 对称．
2、若 ${x_0}$ 满足 $f\left( {f\left( {x_0} \right)} \right) = {x_0}$，但 $f\left( {x_0} \right) \ne {x_0}$，则称 ${x_0}$ 为函数 $f\left( x \right)$ 的二阶周期点，如果 $f\left( x \right)$ 有两个二阶周期点 ${x_1}$，${x_2}$，试确定 $a$ 的取值范围．
3、对于 $(2)$ 中的 ${x_1}$，${x_2}$ 和 $a$，设 ${x_3}$ 为函数 $f\left( {f\left( x \right)} \right)$ 的最大值点，$A\left( {{x_1},f\left( {f\left( {x_1} \right)} \right)} \right)$，$ B\left( {{x_2},f\left( {f\left( {x_2} \right)} \right)} \right)$，$C\left( {{x_3},0} \right)$，记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S\left( a \right)$，讨论 $S\left( a \right)$ 的单调性．
如图，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \left(a > b > 0\right)$ 经过点 $P\left( {1,\dfrac{3}{2}} \right)$，离心率 $e = \dfrac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $x = 4$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、$AB$ 是经过右焦点 $F$ 的任一弦（不经过点 $P$），设直线 $AB$ 与直线 $l$ 相交于点 $M$，记 $PA,PB,PM$ 的斜率分别为 ${k_1},{k_2},{k_3}$．问：是否存在常数 $\lambda $，使得 ${k_1} + {k_2} = \lambda {k_3}$？若存在，求 $\lambda $ 的值；若不存在，请说明理由．
满足 $1 \leqslant x \leqslant y \leqslant z \leqslant 20$ 且 $x+y+z$ 为 $20$ 的倍数的正整数组 $(x, y, z)$ 的个数为（ ）
A．$400$
B．$190$
C．$77$
D．前三个答案都不对
