每日一题[2712]坐标驱动

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$($a > b > 0$)的离心率 $e = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$,$a + b = 3$.

1、求椭圆 $C$ 的方程.

2、如图所示,$A,B,D$ 是椭圆 $C$ 的顶点,$P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点,直线 $DP$ 交 $x$ 轴于点 $N$,直线 $AD$ 交 $BP$ 于点 $M$,设 $BP$ 的斜率为 $k$,$MN$ 的斜率为 $m$,证明:$2m - k$ 为定值.

解析

1、根据题意,有\[\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2,\\ a+b=3,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2,\\ b=1,\end{cases}\]因此椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1$.

2、因为 $B\left(2,0\right)$,点 $P$ 不为椭圆顶点,则直线 $BP$ 的方程为\[y = k\left(x - 2\right),\quad {k \ne 0,k \ne \pm \dfrac{1}{2}}, \]代入 $\dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1$,可得\[P\left( {\dfrac{{8{k^2} - 2}}{{4{k^2} + 1}}, - \dfrac{4k}{{4{k^2} + 1}}} \right).\]直线 $AD$ 的方程为 $y = \dfrac{1}{2}x + 1$,与直线 $BP$ 的方程联立解得\[M\left( {\dfrac{4k + 2}{2k - 1},\dfrac{4k}{2k - 1}} \right).\]由 $D\left(0,1\right)$,$P\left( {\dfrac{{8{k^2} - 2}}{{4{k^2} + 1}}, - \dfrac{4k}{{4{k^2} + 1}}} \right)$,$N\left(x,0\right)$ 三点共线知\[\dfrac{{ - \dfrac{4k}{{4{k^2} + 1}} - 1}}{{\dfrac{{8{k^2} - 2}}{{4{k^2} + 1}} - 0}}= \dfrac{0 - 1}{x - 0},\]解得 $N\left( {\dfrac{4k - 2}{2k + 1},0} \right)$.所以 $MN$ 的斜率为\[m = \dfrac{{\dfrac{4k}{2k - 1} - 0}}{{\dfrac{4k + 2}{2k - 1} - \dfrac{4k - 2}{2k + 1}}} = \dfrac{4k\left(2k + 1\right)}{{2{{\left(2k + 1\right)}^2} - 2{{\left(2k - 1\right)}^2}}} = \dfrac{2k + 1}{4},\]则\[2m - k = \dfrac{2k + 1}{2} - k = \dfrac{1}{2} \]为定值,命题得证.

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