如果集合 $P$ 中至少含有 $2$ 个元素，且其中任意两个元素的差的绝对值不小于 $3$，则称 $P$ 为离散集，则集合 $M=\{1,2,3,\cdots,10\}$ 的所有子集中离散集的个数为_______．
定义实数间的运算 $\&$：对于实数 $x,y,z$，有 $x \&(y \& z)=x \& y+z$，$x \& x=0$，则 $2000 \& 2022$（ ）
A．$22$
B．$-22$
C．$4022$
D．$-4022$
现有含糖 $15 \%$ 的糖水 $20$ 克，含糖 $40 \%$ 的糖水 $15$ 克，另有足够多的糖和水，要配制成含糖 $20 \%$ 的糖水 $30$ 克．
1、试设计多种配制方案．
2、试对你的各种配制方案作一评价，哪一种用糖最省？哪一种现有糖水的浪费最少？
$A, B, C$ 三人各有糖若干粒，要求互相赠送．先由 $A$ 给 $B, C$，所给的糖数等于 $B, C$ 原来各有的糖数，依同法再由 $B$ 给 $A, C$ 现有糖数，后由 $C$ 给 $A, B$ 现有糖数，互送后每人恰好各有 $64$ 粒．问原来三人各有糖多少粒？
已知 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+\mathrm{e}^{2}=1$，则 $M=|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|$ 的最大值是（ ）
A．$2\sqrt 3$
B．$4$
C．$2\sqrt 5$
D．$5$
已知 $a^{2}+a b+b^{2}=3$，$M=a^{2}+b^{2}-a b$，则 （ ）
A．$M$ 的最小值为 $1$
B．$M$ 的最小值为 $2$
C．$M$ 的最大值为 $9$
D．$M$ 的最大值为 $8$
对于三个正整数 $a, b, c$，有 $\sqrt{a+b}, \sqrt{b+c}, \sqrt{c+a}$ 为三个连续正整数，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 最小值为（ ）
A．$337$
B．$1297$
C．$3649$
D．$8401$
用蓝色和红色给一排 $10 $ 个方格染色，连续染为蓝色的格子数（即同为蓝色的格子长度）至多为 $2$ 的染色方法种数为（ ）
A．$504$
B．$505$
C．$506$
D．$507$
对于 $x \in R, f(x)$ 满足 $f(x)+f(1-x)=1$，$f(x)=2 f\left(\dfrac{x}{5}\right)$，且对于 $0 \leqslant x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant 1$，恒有 $f\left(x_{1}\right) \leqslant f\left(x_{2}\right)$，则 $f\left(\dfrac{1}{2022}\right)=$ （ ）
A．$\dfrac 18$
B．$\dfrac{1}{16}$
C．$\dfrac{1}{32}$
D．$\dfrac{1}{64}$
