已知函数 $f(x)=a x-\ln x$（$a \in \mathbb R$）．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若函数 $f(x)$ 有两个零点 $x_1, x_2$，证明：$\dfrac{1}{\ln x_1}+\dfrac{1}{\ln x_2}>2$．
已知函数 $f(x)=x-2-\ln ^2 x-a \ln x$（$a \in \mathbb R$）．
1、令 $g(x)=x f^{\prime}(x)$，讨论 $g(x)$ 的单调性并求极值．
2、令 $h(x)=f(x)+2+\ln ^2 x$，若 $h(x)$ 有两个零点．
① 求 $a$ 的取值范围；
② 若方程 $x {\rm e}^x-a(\ln x+x)=0$ 有两个实数解 $x_1, x_2$，证明：${\rm e}^{x_1+x_2}>\dfrac{{\rm e}^2}{x_1 x_2}$．
已知函数 $f(x)=(x-2) {\rm e}^x+a\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right)$．
1、讨论 $f(x)$ 的极值点的个数．
2、若 $f(x)$ 有 $3$ 个极值点 $x_1, x_2, x_3$（其中 $x_1<x_2<x_3$），证明：$x_1 x_3<x_2^2$．
已知函数 $f\left( x \right) = \ln x - a{x^2} + \left( {2 - a} \right)x$．
1、讨论 $f\left( x \right)$ 的单调性．
2、设 $a > 0$，证明：当 $0 < x < \dfrac{1}{a}$ 时，$f\left( {\dfrac{1}{a} + x} \right) > f\left( {\dfrac{1}{a} - x} \right)$．
3、若函数 $y = f\left( x \right)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 中点的横坐标为 ${x_0}$，证明：$f'\left( {x_0} \right) < 0$．
已知函数 $f(x)=-a \ln x-\dfrac{{\rm e}^x}{x}+a x$（$ a \in\mathbb R$）．
1、当 $a<0$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、设 $g(x)=f(x)+x f^{\prime}(x)$，若关于 $x$ 的不等式 $g(x) \leqslant-{\rm e}^x+\dfrac{x^2}{2}+(a-1) x$ 在 $[1,2]$ 上有解，求 $a$ 的取值范围．
设 $a \in \mathbb R$，函数 $f(x)=\dfrac{x-a}{(x+a)^2}$．
1、若函数 $f(x)$ 在 $(0, f(0))$ 处的切线与直线 $y=3 x-2$ 平行，求 $a$ 的值．
2、若对于定义域内的任意 $x_1$，总存在 $x_2$ 使得 $f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=a \ln x+\dfrac{a-1}{x}-x$，其中 $a<2$．
1、讨论 $f(x)$ 的极值．
2、设 $m \in \mathbb{Z}$，当 $a=1$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f(x)<m-(x-2) {\rm e}^x$ 在区间 $(0,1]$ 上恒成立，求 $m$ 的最小值．
已知函数 $f(x)=(x-2) {\rm e}^x-\dfrac{a}{2} x^2+a x$（$a \in \mathbb R$）．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若不等式 $f(x)+(x+1) {\rm e}^x+\dfrac{a}{2} x^2-2 a x+a>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=a(x-1)-2 \ln x$，$g(x)=x {\rm e}^{1-x}$（$a \in\mathbb R$，${\rm e}$ 为自然对数的底数）．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、对任意的 $x \in\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$，$f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的最大值．
3、若对任意给定的 $x_0 \in(0, {\rm e}]$，在 $(0, {\rm e}]$ 上总存在两个不同的 $x_i$（$i=1,2$），使得 $f\left(x_i\right)=g\left(x_0\right)$ 成立，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=x(a+\ln x)$ 有极小值 $-{\rm e}^{-2}$．
1、求实数 $a$ 的值．
2、若 $k \in\mathbb Z$，且 $k(x-1)<f(x)$ 对任意 $x>1$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．
