Math173

如图，已知 $\triangle A B C$ 内接于抛物线 $E: x^2=y$，且边 $A B,A C$ 所在直线都与抛物线 $M: y^2=4 x$ 相切，$F$ 为抛物线 $M$ 的焦点．

1、求证：边 $B C$ 所在直线与抛物线 $M$ 相切．

2、求证：$A, C, B, F$ 四点共圆．

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直角三角形 $D E F$ 的三个顶点分别在等边三角形 $A B C$ 的边 $A B,B C,C A$ 上，且 $\angle D E F=90^{\circ}$，$\angle E D F=30^{\circ}$，求 $\triangle DEF$ 与 $\triangle ABC$ 面积之比的最小值．

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设 $z$ 为复数，若方程 $\left|z^2\right|-\left|z^2-9\right|=7$ 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率 $e=$_______．

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已知函数 $f(x)=\dfrac{a(x+4)}{\mathrm{e}^x}$，其中 $a \in \mathbb{R}$ 且 $a \neq 0$．

1、当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若存在实数 $x_0$，使得 $f\left(x_0\right)=x_0$，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的“不动点”．求函数 $f(x)$ 的“不动点”的个数．

3、若关于 $x$ 的方程 $f(f(x))=f(x)$ 有两个实数解，求实数 $a$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{2x}-ax-1$（$x \geqslant -1$），且 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1, x_2$．

1、求实数 $a$ 的取值范围．

2、比较 $\left|x_1-x_2\right|$ 与 $|a-2|$ 的大小．

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下列大小关系正确的是（       ）

A．$1.9^2<2^{1.9}$

B．$2^{2.9}<2.9^2$

C．${\log _7} 4<{\log _{12}} 7$

D．${\log _7}4+{\log _{12}} 7<\sqrt{2}$

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已知函数 $f(x)=a \ln x-x^2$（$ a \in \mathbb R$）．

1、求函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \leqslant 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

3、设 $a>0$，若 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 上的两个不同点，满足 $0<x_1<x_2$，且 $x_3 \in\left(x_1, x_2\right)$，使得曲线 $y=f(x)$ 在 $x=x_3$ 处的切线与直线 $A B$ 平行，求证：$x_3<\dfrac{x_1+x_2}{2}$．

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已知函数 $f(x)=(a+2) \ln x+\dfrac{2 a}{x}-x$．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若函数 $h(x)=f(x)-2 \ln x$ 有两个不同的极值点 $x_1, x_2\left(x_1<x_2\right)$，求证：\[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)-x_1 x_2>8(5 \ln 2-2).\]

3、设 $a=-1$，函数 $f(x)+\dfrac{2}{x}+x$ 的反函数为 $k(x)$，令\[k_i(x)=k\left(\left(\frac{i}{n}\right)^x\right),~ i=1,2, \cdots, n-1, \]其中 $n \in \mathbb N^{\ast}$ 且 $n \geqslant 2$．若 $x \in[-1,1]$ 时，对任意的 $n \in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n \geqslant 2$，有\[k_1(x) k_2(x) \cdots k_{n-1}(x) \geqslant \frac{1}{{\rm e}^m}\]恒成立，求 $m$ 的最小值．

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已知函数 $f(x)=a x^2-2 x+1$，$ g(x)=\ln x$．

1、当 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线与 $g(x)$ 在 $x=1$ 处的切线相互平行且距离为 $\sqrt{2}$ 时，求 $a, x_0$ 的值．

2、设 $F(x)=f(x)+g(x)$，当 $F(x)$ 有两个不同极值点 $x_1, x_2$ 时，求证：$F\left(x_1\right)+F\left(x_2\right)<-1$．

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已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} {\rm e}^{2 x}-a {\rm e}^x+a x$ 有两个极值点．

1、求 $a$ 的取值范围．

2、设 $f(x)$ 的两个极值点分别为 $x_1, x_2$，若不等式 $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)<\lambda\left({\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{x_2}\right)$ 恒成立，求 $\lambda$ 的最小值．

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