如图，在等腰直角 $\triangle OPQ$ 中，$\angle POQ = 90^\circ$，$OP = 2\sqrt 2 $，点 $M$ 在线段 $PQ$ 上．
1、若 $OM = \sqrt 5 $，求 $PM$ 的长．
2、若点 $N$ 在线段 $MQ$ 上，且 $\angle MON = 30^\circ $，问：当 $\angle POM$ 取何值时，$\triangle OMN$ 的面积最小？并求出面积的最小值．
已知 $a,b$ 是非零实数，且对任意 $x\geqslant 0$，有 $(x-a)(x-b)(x-2a-b)\geqslant 0$，则（ ）
A．$a>0$
B．$a<0$
C．$b>0$
D．$b<0$
已知等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公比为 $q$，记\[\begin{split} {b_n} &= {a_{m\left(n - 1\right) + 1}} + {a_{m\left(n - 1\right) + 2}} + \cdots + {a_{m\left(n - 1\right) + m}} ,\\ {c_n} &= {a_{m\left(n - 1\right) + 1}} \cdot {a_{m\left(n - 1\right) + 2}} \cdots {a_{m\left(n - 1\right) + m}} ,\end{split}\]其中 ${m,n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}}$，则以下结论一定正确的是（ ）
A．数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 为等差数列，公差为 ${q^m}$
B．数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 为等比数列，公比为 ${q^{2m}}$
C．数列 $\left\{ {c_n} \right\}$ 为等比数列，公比为 ${q^{m^2}}$
D．数列 $\left\{ {c_n} \right\}$ 为等比数列，公比为 ${q^{m^m}}$
已知函数 $f\left( x \right) = \sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$（$\omega > 0$，$0 < \varphi < {\mathrm \pi}$）的周期为 ${\mathrm \pi} $，图象的一个对称中心为 $\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {4},0} \right)$，将函数 $f\left( x \right)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $ 2 $ 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 $\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 个单位长度后得到函数 $g\left( x \right)$ 的图象．
1、求函数 $f\left( x \right)$ 与 $g\left( x \right)$ 的解析式．
2、是否存在 ${x_0} \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$，使得 $f\left( {x_0} \right),g\left( {x_0} \right),f\left( {x_0} \right)g\left( {x_0} \right)$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 ${x_0}$ 的个数，若不存在，说明理由．
3、求实数 $a$ 与正整数 $n$，使得 $F\left( x \right) = f\left( x \right) + ag\left( x \right)$ 在 $\left( {0,n{\mathrm \pi} } \right)$ 内恰有 $ 2013 $ 个零点．
如图，在四棱柱 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，侧棱 $A{A_1} \perp ABCD$，$AB\parallel DC$，$A{A_1} = 1$，$AB = 3k$，$AD = 4k$，$BC = 5k$，$DC = 6k$（$k > 0$）．
1、求证：$CD \perp AD{D_1}{A_1}$．
2、若直线 $A{A_1}$ 与平面 $A{B_1}C$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{6}{7}$，求 $k$ 的值．
3、现将与四棱柱 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 $f\left( k \right)$，写出 $f\left( k \right)$ 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
如图，在正方形 $OABC$ 中，$O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $\left( {10,0} \right)$，点 $C$ 的坐标为 $\left( {0,10} \right)$，分别将线段 $OA$ 和 $AB$ 十等分，分点分别记为 ${A_1},{A_2}, \cdots , {A_9}$ 和 ${B_1},{B_2},\cdots ,{B_9}$，连接 $O{B_i}$，过 ${A_i}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $O{B_i}$ 交于点 ${P_i}$（$i \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，$1 \leqslant i \leqslant 9$）．
1、求证：点 ${P_i}$（$i \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，$1 \leqslant i \leqslant 9$）都在同一条抛物线上，并求该抛物线 $E$ 的方程．
2、过点 $C$ 作直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于不同的两点 $M,N$，若 $\triangle OCM$ 与 $\triangle OCN$ 的面积之比为 $4:1$，求直线 $l$ 的方程．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的两个焦点分别为 ${F_1}\left( { - 1,0} \right)$，${F_2}\left( {1,0} \right)$，且椭圆 $C$ 经过点 $P\left( {\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3}} \right)$．
1、求椭圆 $C$ 的离心率．
2、设过点 $A\left( {0,2} \right)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\dfrac2{|AQ|^2}=\dfrac1{|AM|^2}+\dfrac1{|AN|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．
已知函数 $f\left(x\right)={\left|{x+1}\right|}-2{\left|{x-a}\right|}$，$a>0$． 1
1、当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)>1$ 的解集．
2、若 $f\left(x\right)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形面积大于 $6$，求 $a$ 的取值范围．
如图，$A,B,C,D$ 为平面四边形 $ABCD$ 的四个内角．
1、证明：$\tan \dfrac{A}{2}=\dfrac{1-\cos A}{\sin A}$．
2、若 $A+C=180^\circ$，$AB=6$，$BC=3$，$CD=4$，$AD=5$，求 $\tan {\dfrac A2}+\tan\dfrac{B}{2}+\tan{\dfrac C2}+\tan{\dfrac D2}$ 的值．
若 $\triangle A B C$ 三边长为等差数列，则 $\cos A+\cos B+\cos C$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(1,\dfrac 32\right]$
B．$\left(0,\dfrac 32\right]$
C．$(0,1)$
D．前三个答案都不对
