Math173

$\triangle ABC$ 中，$AB=c$，$AC=b$，边 $AB,AC$ 上的中线长分别为 $u,v$，则 $\dfrac{b+2u}{c+2v}$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(\dfrac13,3\right)$

B．$\left(\dfrac14,4\right)$

C．$\left(\dfrac 15,5\right)$

D．以上答案都不对

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已知函数 $f(x)=\ln x+x^2-k x+1$ $(k \in \mathbb{R}$），$g(x)=x^2-3 x+x {\rm e}^x$． 

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若不等式 $f(x) \leqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)=a x^2-{\rm e}^{x-1}$．

1、当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时，证明：$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上为减函数．

2、当 $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x) \leqslant a \cos x$，求实数 $a$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{a-x^2}{2 x}$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 有两个实数解，求 $a$ 的最大整数值．

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已知 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 是平面内的 $3$ 个单位向量，且 $\boldsymbol a\perp \boldsymbol b$，则 $|\boldsymbol a+2\boldsymbol c|+|3\boldsymbol a+2\boldsymbol b-\boldsymbol c|$ 的最小值为_______．

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已知锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB=1$，$AC=2$，$O$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆圆心，点 $P$ 在圆 $O$ 上运动，则 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{AO}$ 的取值范围是（       ）

A．$\left[-\dfrac 12,4\right)$

B．$[0,2)$

C．$\left[-\dfrac 12,2\right)$

D．$[0,4)$

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已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}-a x$．

1、若 $f(x) \leqslant-1$，求实数 $a$ 的取值范围．

2、若 $f(x)$ 有 $2$ 个不同的零点 $x_1, x_2$（$x_1<x_2$），求证：$2 x_1^2+3 x_2^2>\dfrac{12}{5 a}$．

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已知函数 $f(x)=x^a \ln x-x$．

1、当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、当 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \leqslant-1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

3、设 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，证明 $: \ln (n+1)<1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{n}{2(n+1)}$．

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设函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{k(x-1)}{x+1}$．

1、若 $f(x) \geqslant 0$ 对任意 $x \in[1,+\infty)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

2、已知方程 $\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1}{3 \mathrm{e}}$ 有两个实数解 $x_1, x_2$，求证：$x_1+x_2>6 \mathrm{e}$．

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已知 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$（$n\geqslant 2$）满足 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$，设\[M=|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+\cdots+|x_{n-1}-x_n|+|x_n-x_1|.\]

1、若 $n=3$，求证：$M\leqslant 2\sqrt 2$．

2、若 $n=2023$，求 $M$ 的最大值．

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