Math173

在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$．

1、求 $W$ 的方程．

2、已知矩形 $ABCD$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $ABCD$ 的周长大于 $3\sqrt 3$．

继续阅读 →

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 $0.6$，乙每次投篮的命中率均为 $0.8$．由抽签确定第 $1$ 次投篮的人选，第 $1$ 次投篮的人是甲、乙的概率各为 $0.5$．

1、求第 $2$ 次投篮的人是乙的概率．

2、求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率．

3、已知：若随机变量 $X_i$ 服从两点分布，且 $P(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i$，$i=1,2,\cdots,n$，则 $\displaystyle E\left(\sum\limits_{i=1}^n{X_i}\right)=\sum\limits_{i=1}^n{q_i}$．记前 $n$ 次（即从第 $1$ 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$，求 $E(Y)$．

继续阅读 →

已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$．点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上，$\overrightarrow{F_1A}\perp\overrightarrow{F_1B}$，$\overrightarrow{F_2A}=-\dfrac 23\overrightarrow{F_2B}$，则 $C$ 的离心率为_______．

继续阅读 →

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)$，则（        ）

A．$f(0)=0$

B．$f(1)=0$

C．$f(x)$ 是偶函数

D．$x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点

继续阅读 →

下列物体中，能够被整体放入棱长为 $1$（单位：$\rm m$）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（       ）

A．直径为 $0.99~{\rm m}$ 的球体

B．所有棱长均为 $1.4~{\rm m}$ 的四面体

C．底面直径为 $0.01~{\rm m}$，高为 $1.8~{\rm m}$ 的圆柱体

D．底面直径为 $1.2~{\rm m}$，高为 $0.01~{\rm m}$ 的圆柱体

继续阅读 →

已知 $n$（$n\geqslant 4$）个数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，求证：同时去掉其中的最小数和最大数后，剩下的 $n-2$ 个数的方差不大于原来 $n$ 个数的方差．

继续阅读 →

设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\dfrac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（       ）

A．$(1,1)$

B．$(-1,2)$

C．$(1,3)$

D．$(-1,-4)$

继续阅读 →

如图，$F_1(-c, 0),F_2(c, 0)$ 为双曲线 $C_1:~ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$ b>0$）的左、右焦点，抛物线 $C_2$ 的顶点为坐标原点，焦点为 $F_2$，设 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点为 $P(m, n)$，且 $\left|P F_1\right|=7$，$\left|P F_2\right|=5$，$\angle P F_2 F_1$ 为钝角．

1、求双曲线 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 的方程．

2、过 $F_2$ 作不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$，依次交 $C_1$ 的右支、$C_2$ 于 $A,B,C,D$ 四点，设 $M$ 为 $A D$ 中点，$N$ 为 $B C$ 中点，试探究 $\dfrac{|A D| \cdot\left|N F_2\right|}{|B C| \cdot\left|M F_2\right|}$ 是否为定值．若是，求此定值；若不是，请说明理由．

继续阅读 →

已知偶函数 $f(x)$ 与其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbb{R}$，且 $f^{\prime}(x)+\mathrm{e}^{-x}+x$ 也是偶函数，若 $f(2 a-1)<f(a+1)$，则实数 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$(-\infty, 2)$

B．$(0,2)$

C．$(2,+\infty)$

D．$(-\infty, 0) \cup(2,+\infty)$

继续阅读 →

已知正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $2$，点 $M, N$ 分别为 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A B D$ 的重心，$P$ 为线段 $C N$ 上一点，则下列结论正确的是（       ）

A．若 $A P+B P$ 取得最小值，则 $C P=P N$

B．若 $C P=3 P N$，则 $D P \perp A B C$

C．若 $D P \perp$ 平面 $A B C$，则三棱锥 $P-A B C$ 外接球的表面积为 $\dfrac{27 \pi}{2}$

D．直线 $M N$ 到平面 $A C D$ 的距离为 $\dfrac{2 \sqrt{6}}{9}$

继续阅读 →