已知 $f(x)=a x-\dfrac{\sin x}{\cos ^{3} x}, ~x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$．
1、若 $a=8$，讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)<\sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
每日一题[3083]抛物线灭门人
设抛物线 $C: y^{2}=2 p x$（$p>0$），直线 $x-2 y+1=0$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$．
1、求 $p$．
2、设 $C$ 的焦点为 $F$，$M, N$ 为 $C$ 上两点，$\overrightarrow{MF} \cdot \overrightarrow{NF}=0$，求 $\triangle MNF$ 面积的最小值．
每日一题[3082]正弦过路
在 $A B C$ 中，$A B=2$，$ \angle B A C=60^{\circ}$，$ B C=\sqrt{6}$，$D$ 为 $B C$ 上一点，$A D$ 为 $\angle B A C$ 的平分线，则 $A D=$ _______．
每日一题[3081]焦点三角形
己知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{6}=1$，$F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点，$O$ 为原点，$P$ 为椭圆上一点，$\cos \angle F_{1} P F_{2}=\dfrac{3}{5}$，则 $|P O|=$ （ ）
A．$\dfrac{2}{5}$
B．$\dfrac{\sqrt{30}}{2}$
C．$\dfrac{3}{5}$
D．$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$
每日一题[3080]极值判断
解答：
1、证明：当 $0<x<1$ 时，$x-x^2<\sin x<x$．
2、已知函数 $f(x)=\cos ax-\ln\left(1-x^2\right)$，若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．
每日一题[3079]点驱参方
已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $\left(-2\sqrt 5,0\right)$，离心率为 $\sqrt 5$．
1、求 $C$ 的方程．
2、记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M,N$ 两点，$M$ 在第二象限，直线 $MA_1$ 与 $NA_2$ 交于点 $P$，证明：点 $P$ 在定直线上．
每日一题[3077]解直角三角形
记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $\triangle ABC$ 面积为 $\sqrt 3$，$D$ 为 $BC$ 的中点，且 $AD=1$．
1、若 $\angle ADC=\dfrac{\pi}3$，求 $\tan B$．
2、若 $b^2+c^2=8$，求 $b,c$．
每日一题[3076]误码与冗余
在信道内传输 $0,1$ 信号，信号的传输相互独立．发送 $0$ 时，收到 $1$ 的概率为 $\alpha$（$0<\alpha<1$），收到 $0$ 的概率为 $1-\alpha$；发送 $1$ 时，收到 $0$ 的概率为 $\beta$（$0<\beta<1$），收到 $1$ 的概率为 $1-\beta$．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 $1$ 次，三次传输是指每个信号重复发送 $3$ 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 $1,0,1$，则译码为 $1$）．则下列说法正确的有（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送 $1,0,1$，则依次收到 $1,0,1$ 的概率为 $(1-\alpha)(1-\beta)^2$
B．采用三次传输方案，若发送 $1$，则依次收到 $1,0,1$ 的概率为 $\beta(1-\beta)^2$
C．采用三次传输方案，若发送 $1$，则译码为 $1$ 的概率为 $\beta(1-\beta)^2+(1-\beta)^3$
D．当 $0<\alpha<0.5$ 时，若发送 $0$，则采用三次传输方案译码为 $0$ 的概率大于采用单次传输方案译码为 $0$ 的概率
每日一题[3075]成分分析
若函数 $f(x)=a\ln x+\dfrac bx+\dfrac c{x^2}$（$a\ne 0$）既有极大值也有极小值，则（ ）
A．$bc>0$
B．$ab>0$
C．$b^2+8ac>0$
D．$ac<0$