已知函数 $f(x)=\ln x$，$g(x)=a x-1$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、讨论函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的单调性．
2、若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有两个不同的交点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$（$x_1<x_2$）．
① 求实数 $a$ 的取值范围．
② 求证：$-1<y_1<0$，且 $\mathrm{e}^{y_1}+\mathrm{e}^{y_2}>2$（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x\left(x^2-(a+2) x+a+3\right)$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$，求证：$f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)<4 \mathrm{e}^2$．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2-a x+\ln x$（$a>0$）．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 , x_2\left(x_1>x_2\right)$，且 $f\left(x_1\right)-x_1<\lambda x_2$（$\lambda \in \mathbb{R}$）恒成立，求 $\lambda$ 的取值范围．
已知 $g(x)=\dfrac{1}{2} a x^2-x \ln x+x$，当 $g(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$（$x_1<x_2$）时，求证： \[ (2 a \mathrm{e}-1)\left(x_1+x_2\right)<2 \mathrm{e} . \]
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2-2 x+a \ln x$（$a>0$）．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 有 $2 $ 个极值点 $x_1, x_2$，证明：$\left|\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\right|<\sqrt{1-a}$．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} a x^2+\ln x $，$g(x)=-b x$，其中 $a , b \in \mathbb{R}$．设 $h(x)=f(x)-g(x)$．
1、若 $f(x)$ 在 $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 处取得极值，且 $f^{\prime}(1)=g(-1)-2$，求函数 $h(x)$ 的单调区间．
2、若 $a=0$ 时，函数 $h(x)$ 有两个不同的零点 $x_1 , x_2$．
① 求 $b$ 的取值范围．
② 求证：$\dfrac{x_1 x_2}{\mathrm{e}^2}>1$．
已知函数 $f(x)=a x(\ln x-1)-x^2$（$a \in \mathbb{R}$）恰有两个极值点 $x_1 , x_2$，且 $x_1<x_2$．
1、求实数 $a$ 的取值范围．
2、若不等式 $\ln x_1+\lambda \ln x_2>1+\lambda$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{2 x}-a x^2-1$（$x \in \mathbb{R}$）有两个极值点 $x_1 , x_2$．
1、求实数 $a$ 的取值范围．
2、求证：$a \mathrm{e}^{2 x_1}+a \mathrm{e}^{2 x_1}>2 \mathrm{e}^{2 x_1} \cdot \mathrm{e}^{2 x_2}$．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x\left(x^2+3 x+a\right)$．
1、求 $f(x)$ 的单调区间．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 , x_2$，设 $A\left(x_1, f\left(x_1\right)\right) , B\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$，是否存在 $a$，使得直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点在曲线 $y=f(x)$ 上？如果存在，求 $a$ 的值；如果不存在，请说明理由．
已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，当 $x<0$ 时，$f(x)>1$，且对任意的实数 $x , y \in \mathbb{R}$，等式 $f(x) f(y)=f(x+y)$ 成立，若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $f\left(a_{n+1}\right) f\left(\dfrac{1}{1+a_n}\right)=1$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$），且 $a_1=f(0)$，则下列结论成立的是（ ）
A．$f\left(a_{2013}\right)>f\left(a_{2016}\right)$
B．$f\left(a_{2014}\right)>f\left(a_{2017}\right)$
C．$f\left(a_{2016}\right)<f\left(a_{2015}\right)$
D．$f\left(a_{2013}\right)>f\left(a_{2015}\right)$
